פנים (טופולוגיה)

הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p.

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $A$ ב-$\text{Int}(A)$ או ב-$A^{\circ }$.

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

• תהא $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, $\text{Int}(A)$, בתור קבוצת כל הנקודות $x\in A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $B$ כך ש-$x\in B\subseteq A$ - כלומר, הקבוצה $A$ היא סביבה של $x$.
• תהא $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-$A$. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-$A$.
• תהא $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: $\text{Int}(A)=(\overline{A^c}{)}^c$.

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור $[0,1]$ בישר הממשי.

$[0,1{]}^c=(-\mathrm{\infty },0)\cup (1,\mathrm{\infty })$

$\overline{[0,1{]}^c}=(-\mathrm{\infty },0]\cup [(1,\mathrm{\infty })$

$(\overline{[0,1{]}^c}{)}^c=(0,1)$

ולכן הפנים של $[0,1]$ הוא הקטע הפתוח $(0,1)$.

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

• כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $A=\text{Int}(A)$. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן $\text{Int}(A)=\text{Int}(\text{Int}(A))$.
• $A\subseteq B\Rightarrow \text{Int}(A)\subseteq \text{Int}(B)$
• $\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\subseteq \text{Int}(A\cup B)$
• $\text{Int}(A\cap B)=\text{Int}(A)\cap \text{Int}(B)$

חוץ

החוץ של קבוצה $A$, המסומן $\text{Ext}(A)$, מוגדר כפנים של המשלים שלה: $\text{Ext}(A)=\text{Int}(A^c)$. באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: $\text{Ext}(A)=(\text{Cl}(A){)}^c$.

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם

• נקודת מרכז

קישורים חיצוניים

• .html פנים, באתר MathWorld (באנגלית)