סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה $S$ השייכת למרחב טופולוגי $X$ הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את $S$. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי $S$ ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה $S$.

הגדרה פורמלית

יהא $X$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא $S\subseteq X$ קבוצה. אם $\mathrm{\Lambda }$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות $A$ המקיימות $S\subseteq A\subseteq X$ (כלומר, קבוצת הקבוצות הסגורות המכילות את $S$), אז הסגור של $S$ יסומן $\text{Cl}(S)$ או $\bar{S}$, ויוגדר על ידי:

$\bar{S}=\text{Cl}(S)=\bigcap _{A\in \mathrm{\Lambda }}A$.

להלן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה לעיל (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותן כהגדרה, ניתן להוכיח מהן את ההגדרה המקורית):

• $\text{Cl}(S)$ היא קבוצת כל האיברים של $X$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $S$ (לא בהכרח שונה מהם).
• $\text{Cl}(S)=S\cup S^{\prime }$, כאשר $S^{\prime }$ היא הקבוצה הנגזרת של $S$.
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: $\text{Cl}(A)={(\text{Int}(A^C))}^C$.

דוגמאות

• הסגור של הקטע הפתוח $(a,b)$ הוא הקטע הסגור $[a,b]$.
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים $\mathbb{\mathbb{Q}}$ הוא הישר הממשי כולו $\mathbb{ℝ}$.

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור של עצמה: $A=\text{Cl}(A)$. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן $\text{Cl}(A)=\text{Cl}(\text{Cl}(A))$.
• $A\subseteq B\Rightarrow \text{Cl}(A)\subseteq \text{Cl}(B)$.
• $\text{Cl}(A\cap B)\subseteq \text{Cl}(A)\cap \text{Cl}(B)$.
• $\text{Cl}(A\cup B)=\text{Cl}(A)\cup \text{Cl}(B)$.
• $f$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $A$ בתחום שלה מתקיים $f(\text{Cl}(A))\subseteq \text{Cl}(f(A))$.
• אם $A$ קבוצה קשירה, לכל $A\subseteq B\subseteq \text{Cl}(A)$ מתקיים שגם $B$ קבוצה קשירה. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת $\text{Cl}(A)=X$ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת $\text{Int}(\text{Cl}(A))=\mathrm{\varnothing }$ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.

קישורים חיצוניים

• .html סגור, באתר MathWorld (באנגלית)