קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי $X$ למרחב האוסדורף קומפקטי $\beta X$, שיש לה חשיבות אפילו כאשר $X$ מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך $\beta X$ של $X$ היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי $X$, במובן שכל העתקה מ-$X$ למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך $\beta X$. אם $X$ הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת $X$ ב-$\beta X$ הומיאומורפית ל-$X$, וכך אפשר לחשוב על $X$ כתת-מרחב צפוף של $\beta X$. במקרה הכללי, ההעתקה $X\to \beta X$ אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש-$\beta \mathbb{\mathbb{N}}\ne \mathbb{\mathbb{N}}$ אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של $\beta \mathbb{\mathbb{N}}$ באופן ישיר.

אוניברסליות ופונקטוריאליות

המרחב $\beta X$ והפונקציה מ-$X$ אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה $f:X\to K$, כאשר $K$ מרחב האוסדורף קומפקטי, יש הרחבה יחידה לפונקציה רציפה $\beta f:\beta X\to K$. כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את $\beta X$ עד כדי הומיאומורפיזם.

ההעתקה $X\to \beta X$ היא הומיאומורפיזם אל התמונה אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה $X\to \beta X$ היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם $X$ מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי $\beta$ הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב-$u:\mathrm{CHaus}\to \mathrm{Top}$ את הפונקטור השכחן. אז כל מורפיזם $\beta X\to K$ (עבור $K\in \mathrm{Obj}(\mathrm{CHaus})$) מתאים באופן יחיד למורפיזם $X\to uK$ (באמצעות צמצום ל-$X$ ותכונת האוניברסליות), כלומר $\mathrm{Hom}(\beta X,K)=\mathrm{Hom}(X,uK)$. היינו, הפונקטור $\beta$ הוא פונקטור צמוד משמאל ל-$u$.

בניה

אם $X$ מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את $\beta X$ כמרחב כל העל-מסננים על $X$, עם טופולוגיית סטון. אברי $X$ מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה

אם $S$ חבורה למחצה דיסקרטית, יש הרחבה יחידה של הפעולה מ-$S$ ל-$\beta S$ כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של $S$ הוא רציף. הרחבה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש-$\beta S$ אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם $S\subseteq T$ חבורות למחצה דיסקרטיות, אז $\beta S\subseteq \beta T$ גם היא תת-חבורה למחצה.

המרכז הטופולוגי של $\beta S$ (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם $S$ חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז $S^{*}=\beta S-S$ הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות $\beta \mathbb{\mathbb{N}}$ ו-$\beta \mathbb{\mathbb{Z}}$ סבוך להפליא. למשל, במרכזים של $(\beta \mathbb{\mathbb{N}},+)$, $(\beta \mathbb{\mathbb{N}},\cdot )$ ו-$(\beta \mathbb{\mathbb{Z}},+)$ אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב-$\beta \mathbb{\mathbb{Z}}$ כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.

מקורות

• Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).