תורת הקבוצות - מונחים

• תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
  • תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
  • תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.

• קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.

• תת קבוצה: קבוצה $B$ היא תת קבוצה של הקבוצה $A$ אם כל איבר של $B$ שייך גם ל-$A$. נסמן זאת בצורה: $B\subseteq A$.

• הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן $\mathrm{\varnothing }$ (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
• יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
• פעולות על קבוצות:
  • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: $A\cup B$.
    • הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
  • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: $A\cap B$.
    • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
      • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ ו-$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  • הפרש: ההפרש בין $A$ ל־$B$ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־$A$ ולא שייכים ל־$B$.
    • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות $A$ ו-$B$ הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי $A$ שלא שייכים ל-$B$ וכל איברי $B$ שלא שייכים ל־$A$ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
    • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
  • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות $A,B$ היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-$A$ והשני שייך ל-$B$. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
    • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • בחירה
• קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
• קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

• עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה $A$ תסומן $\left|A\right|$.
  • ${\mathrm{\aleph }}_0$ (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
  • $\mathrm{\aleph }$ או $\mathfrak{𝔠}$: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.

• השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ${\mathrm{\aleph }}_0$ ו-$\mathrm{\aleph }$, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).

• קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס).
• קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
• קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה $A$ תסומן ${𝒫}(A)$.

• יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - $A$, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - $B$ (לא בהכרח שונה מ-$A$). בכתיב פורמלי: קבוצה $R$ תיקרא יחס מ-$A$ ל-$B$ אם $R\subseteq A\times B$.
  • פונקציה: יחס בו לכל איבר של $A$ קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
    • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה $f:X\to Y$ תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לכל היותר $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $f(x)=y$.
    • פונקציה על: פונקציה $f:X\to Y$ תקרא על אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לפחות $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $f(x)=y$.
    • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל $y$ קיים $x$ יחיד כך ש-$f(x)=y$ (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
  • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה $A$ המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
  • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
    • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
      • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
    • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

• קבוצת כל הפונקציות מקבוצה $A$ לקבוצה $B$: קבוצה המסומנת $B^A$ והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה $A$ אל תוך הקבוצה $B$.

• הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

• ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

• משפטים:
  • משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
  • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
  • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה $A$ לקבוצה $B$, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה $B$ לקבוצה $A$, אז שתי הקבוצות שקולות.