הפרש (תורת הקבוצות)

דיאגרמת ון של הקבוצה $A-B$

בתורת הקבוצות, הפרש של שתי קבוצות $A$ ו־$B$ הוא הקבוצה שמכילה את כל איברי $A$ שלא שייכים ל־$B$. קבוצה זו מסומנת ב־$A-B$ או ב־$A\setminus B$:

$$\begin{gathered} A-B=\{x \\ | \\ x\in A,x\notin B\}=A\cap B^c \end{gathered}$$

פעולה ההפרש איננה קיבוצית או חילופית. פעולת ההפרש מקבילה ל"וגם לא" הלוגי. (מדובר באוסף האיברים השייכים לקבוצה $A$ ולא שייכים לקבוצה $B$)

דוגמה

יהיו:

$\mathbb{\mathbb{N}}$ – קבוצת המספרים הטבעיים

${\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}$ – קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים

${\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}$ – קבוצת המספרים הטבעיים האי־זוגיים

אזי:

$\mathbb{\mathbb{N}}-{\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}={\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}$

$\mathbb{\mathbb{N}}-{\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}={\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}$

${\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}-{\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{even}}={\mathbb{\mathbb{N}}}_{\text{odd}}$

תכונות

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$

$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$

$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$

$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$

$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$

$A\setminus A=\mathrm{\varnothing }$

$\mathrm{\varnothing }\setminus A=\mathrm{\varnothing }$

$A\setminus \mathrm{\varnothing }=A$

$A\setminus U=\mathrm{\varnothing }$

קישורים חיצוניים

• .html הפרש, באתר MathWorld (באנגלית)