שברון (סטטיסטיקה)

שברון (באנגלית: quantile) הוא מונח בסטטיסטיקה, שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן $0\le q\le 1$) מהאוכלוסייה.

שברון של משתנה מקרי

יהי $X\sim F$ משתנה מקרי ממשי. נסמן את פונקציית ההתפלגות המצטברת $$F(x)=P[X\le x]$$ כאשר P מסמן הסתברות. השברון ה-q של X עבור $0\le q\le 1$ הוא הערך ${\xi }_q\in \mathbb{ℝ}$ כך שמתקיים $$F({\xi }_q)=P[X\le {\xi }_q]=q$$ אם F פונקציה מונוטונית עולה ממש אזי ${\xi }_q=F^{-1}(q)$.

שברון של התפלגות אמפירית

נניח שדגמנו $n$ נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה: $$\underset{i}{\min }{X}_i=X_1\le X_2\le ...\le X_{n-1}\le X_n=\underset{i}{\max }{X}_i$$ ונצייד את הנתונים בהתפלגות אמפירית: $$F_n(x)=\frac{\mathrm{\#}\{X_i\le x\}}{n}$$ השברון ה-q הוא המספר ${\xi }_q$ ש-$qn$ מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר $qn\notin \mathbb{\mathbb{Z}}$ איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא ממוצע משוקלל של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן $$m=\lfloor qn+\frac{1}{2}\rfloor$$ ואז $${\xi }_q=X_m\cdot (m+1-(qn+\frac{1}{2}))+X_{m+1}(qn+\frac{1}{2}-m)$$ אנו רואים שכאשר $m=qn+1/2\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ אזי ${\xi }_q=X_m$.

דוגמה

לדוגמה, החציון $q=\frac{1}{2}$. עבור n אי-זוגי ($n=2k+1$),‏ מתקיים $m=\lfloor \frac{n}{2}+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor \frac{2k+1}{2}+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor \frac{2k+2}{2}\rfloor =k+1$ ואז $$,{\xi }_{0.5}=X_{k+1}$$ ועבור n זוגי ($n=2k$) נקבל $m=\lfloor \frac{n}{2}+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor \frac{2k}{2}+\frac{1}{2}\rfloor =k$ ואז $${\xi }_{0.5}=X_k\cdot (k+1-(k+\frac{1}{2}))+X_{k+1}(k+\frac{1}{2}-k)=\frac{X_k+X_{k+1}}{2}$$

שברונים שימושיים

מלבד החציון, שהוא השברון $q=1/2$, נפוצים בשימוש גם הרבעונים העליון $q=3/4$ והתחתון $q=1/4$, עשירונים, אחוזונים ואלפיונים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שברון בוויקישיתוף   

• .html שברון, באתר MathWorld (באנגלית)