טווח בין-רבעוני

הטווח הבין־רבעוני הוא מדד לפיזורם של ערכים במדגם. הטווח הבין־רבעוני הוא טווח שבו נמצאים חצי מהערכים.

בהינתן קבוצת מספרים, כגון תוצאות של משתנה רציף שנאספו בסקר, טווח בין־רבעוני הוא הטווח שבין המאון ה־25 (Q1) למאון ה־75 (Q3). דהיינו, טווח כלל התוצאות, שאינן מוכלות ברבעון העליון ואינן מוכלות ברבעון התחתון. לדוגמה, בקבוצת המספרים 1, 1.5, 1.5, 2, 3, 3, 4, 8, הטווח הבין־רבעוני הוא 1.5 עד 3.5 (-ממוצע של האיברים האמצעיים)

הטווח הבין־רבעוני מתאים למשתנה בסולם מדידה אורדינלי (סידורי) ומעלה. למציאת הרבעונים יש לחלק את הטווח (בין 2 הערכים הקיצוניים בהתפלגות) לארבעה רבעים שווי שכיחות (בכל אחד מהרביעונים 25% מהשכיחויות):

Q1 – רבעון ראשון: ערך שעד אליו רבע (25% מהשכיחויות) ומעליו שלושה רבעים (75%) מהמקרים.

Q2 – רבעון שני: החציון, הערך שחצי (50% מהשכיחויות) מהמקרים קטנים או שווים לו וחצי גדולים או שווים לו.

Q3 – רבעון שלישי: הערך שמתחתיו שלושה רבעים מההתפלגות ומעליו רבע ממנה.

שימוש

שלא כמו טווח (מלא), לטווח הבין־רבעוני יש נקודת שבירה של 25% ולכן לפעמים מעדיפים אותו על פני טווח. הטווח הבין־רבעוני משמש לבניית תרשימי קופסה וייצוגים גרפיים פשוטים של התפלגות. עבור ההתפלגות הסימטרית (שבה החציון שווה למרכז הרבעונים (הממוצע של הרבעון הראשון והשלישי), חצי מהטווח הבין־רבעוני שווה לחציון הסטיות המוחלטות מהחציון (MAD).

דוגמאות

נתונים בטבלה

i	[x[i	רבעון
1	102
2	104
3	105	Q1
4	107
5	108
6	109	Q2 (חציון)
7	110
8	112
9	115	Q3
10	116
11	118

עבור הנתונים שבטבלה, הטווח הבין־רבעוני הוא $115-105=10$.

נתונים בתרשים

                    
                             +-----+-+     
   o        *    |-----------|     | |-----------|
                             +-----+-+    
                    
 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+   number line
 0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  

• ערך החציון: Q₂ = 8.5
• ערך הרבעון הראשון: Q₁ = 7.
• ערך הרבעון השלישי: Q₃ = 9
• הטווח הבין־רבעוני: IQR = Q₃ - Q₁ = 2
• ערך קו 1.5 * IQR תחתון: Q1 - 1.5 * IQR = 7 - 3 = 4
• ערך קו 1.5 * IQR עליון: Q3 + 1.5 * IQR = 9 + 3 = 12

הטווח הבין־רבעוני של התפלגויות

אפשר לחשב את הטווח הבין־רבעוני של התפלגות רציפה על ידי פונקציית צפיפות (שנותנת את פונקציית ההצטברות, כל דרך אחרת לחישוב פונקציית ההצטברות תעבוד). הרבעון התחתון, Q1, הוא מספר עבורו מתקיים שהאינטגרל של פונקציית ההצטברות מ־∞ ל־Q1 שווה 0.25, ועבור Q3

האינטגרל מ־∞ ל־Q3 שווה 0.75. במונחים של פונקציית הצטברות (CDFׂ) אפשר לתאר את הרבעונים כך:

$Q_1={\text{CDF}}^{-1}(0.25)$

$Q_3={\text{CDF}}^{-1}(0.75)$

כאשר CDF⁻¹ היא פונקציית השברון.

להלן הטווח הבין־רבעוני והחציון של התפלגויות שכיחות:

התפלגות	חציון	טווח בין-רבעוני
נורמלית	μ	2Φ−1(0.75)σ ≈ 1.349σ ≈ (27/20)σ
לפלס	μ	2b ln(2) ≈ 1.386b
קושי	μ	2γ

הטווח הבין־רבעוני וערכים קיצוניים

נהוג להשתמש בטווח הבין־רבעוני כדי למצוא ערכים קיצוניים בנתונים. ערכים קיצוניים הן תצפיות שנופלות מתחת ל־(Q1-1.5(IQR או מעל (Q3+1.5(IQR. 

ראו גם

• סטטיסטיקה חסינה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טווח בין-רבעוני בוויקישיתוף   

• .html טווח בין-רבעוני, באתר MathWorld (באנגלית)