קבוע דה ברויין-ניומן

במתמטיקה, קבוע דה ברויין-ניומן, המסומן באות $\mathrm{\Lambda }$, הוא קבוע מתמטי ממשי, שערכו אינו ידוע. הקבוע מוגדר באמצעות משפחה חד-פרמטרית של פונקציות מרוכבות $H_t(z)$, וחשיבותו בכך שהשערת רימן שקולה לכך שהוא אינו גדול מאפס. ידוע ש-$0\le \mathrm{\Lambda }$.

אם מגדירים $\mathrm{\Phi }(u)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(2{\pi }^2{n}^4{e}^{9u}-3\pi n^2{e}^{5u})\exp (-\pi n^2{e}^{4u})$ (כאשר $0\le u$ ממשי), אפשר לבטא את פונקציית קסי של רימן כאינטגרל $\frac{1}{8}\xi (z/2)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(u)\cos (zu)du$ (כאשר $z$ משתנה מרוכב). השערת רימן שקולה לטענה ש-$\xi$ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד (כלומר, כל הערכים $z\in \mathbb{ℂ}$ שעבורם $\xi (z)=0$ הם ממשיים). את ההגדרה הזו אפשר להכליל באמצעות הוספת פרמטר ממשי $\lambda$ למשפחת פונקציות $H_{\lambda }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\lambda u^2}\mathrm{\Phi }(u)\cos (zu)du$, כך ש-$\frac{1}{8}\xi (z/2)=H_0(z)$.

בהקשר זה, טבעי לשאול עבור אלו ערכים של $\lambda$ הפונקציה $H_{\lambda }(z)$ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. הקבוע $\mathrm{\Lambda }$ מוגדר כאינפימום של קבוצת הערכים $\lambda$ שעבורם $H_{\lambda }(z)$ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. לאור הקשר בין הפונקציה $\xi$ לבין $H_0$, השערת רימן שקולה לטענה ש-$\mathrm{\Lambda }\le 0$.

ניקולאס חוברט דה ברויין הוכיח ב-1950 ש-$H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד לכל $\mathrm{\Lambda }<\lambda$, ואינה כזו לכל $\lambda <\mathrm{\Lambda }$. בנוסף, הוא הוכיח ש-$\mathrm{\Lambda }\le 1/2$. צ'ארלס ניומן השלים את התמונה בשנת 1976, בהוכיחו ש-$H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד גם עבור $\lambda =\mathrm{\Lambda }$, ושיער ש-$0\le \mathrm{\Lambda }$; כלומר, ש-$H_{\lambda }$ אינה בעלת שורשים ממשיים בלבד כאשר $\lambda <0$.

הגבול התחתון הטוב ביותר הידוע עבור הקבוע השתפר בהדרגה, לפי הטבלה הבאה:

שנה	גבול תחתון ידוע	מקור
1988	$-50$
1991	$-5$
1990	$-0.385$
1994	$-4.379\cdot 10^{-6}$	Csordas, Smith and Varga
1993	$-5.895\cdot 10^{-9}$	Csordas, Odlyzko, Smith and Varga
2000	$-2.7\cdot 10^{-9}$
2011	$-1.1\cdot 10^{-12}$
2018	$0$	Rodgers and Tao

קישורים חיצוניים

• .html קבוע דה ברויין-ניומן, באתר MathWorld (באנגלית)