פונקציית המשולש

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

דוגמה לפונקציית המשולש

פונקציית המשולש היא פונקציה שהגרף שלה הוא בצורת משולש, פעמים רבות משולש שווה-צלעות שגובהו 1 ואורך בסיסו 2. פונקציית המשולש שימושית בעיבוד אותות ובהנדסת מערכות תקשורת, כמייצגת של אותות אידיאליים, שממנה ניתן לגזור פונקציות מציאותיות יותר. הפונקציה שימושית גם באפנון דופק מקודד כצורת דופק לשידור אותות דיגיטליים וכמסנן מתואם לקליטת האותות. היא משמשת גם להגדרת החלון המשולש .

הגדרה

ההגדרה הנפוצה של פונקציית המשולש היא:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\mathrm{tri}(x)=\mathrm{\Lambda }(x) \\ & \stackrel{\text{def}}{=} \\ \max (1-|x|,0)\\ & =\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1;\\ 0& \text{תרחא}\\ \end{array}\end{array} \end{gathered}$$

באופן שקול ניתן להגדיר את הפונקציה כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן זהות:

$\begin{array}{rl}\mathrm{tri}(x)& =\mathrm{rect}(x)*\mathrm{rect}(x)\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{rect}(x-\tau )\cdot \mathrm{rect}(\tau )d\tau .\\ \end{array}$

את פונקציית המשולש ניתן להציג גם כמכפלה של פונקציית המלבן ופונקציית הערך המוחלט:

$\mathrm{tri}(x)=\mathrm{rect}(x/2)(1-|x|).$

פונקציית משולש חלופית

יש שמגדירים את פונקציית המשולש כבעל בסיס באורך 1 (במקום 2) כך:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\mathrm{tri}(2x)=\mathrm{\Lambda }(2x) \\ & \stackrel{\text{def}}{=} \\ \max (1-2|x|,0)\\ & =\{\begin{array}{ll}1-2|x|,& |x|<\frac{1}{2};\\ 0& \text{תרחא}\\ \end{array}\end{array} \end{gathered}$$

ההגדרה הכללית של פונקציית המשולש היא:

${\mathrm{tri}}_j(x)=\{\begin{array}{ll}(x-x_{j-1})/(x_j-x_{j-1}),& x_{j-1}\le x<x_j;\\ (x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_j),& x_j\le x<x_{j+1};\\ 0& \text{תרחא}\end{array}$

במסגרת הגדרה כללית זו, ההגדרה שבתחילת פרק זה היא מקרה פרטי:

$\mathrm{\Lambda }(x)={\mathrm{tri}}_j(x),$

כאשר $x_{j-1}=-1$, $x_j=0$, $x_{j+1}=1$.

סילום

לכל פרמטר $a\ne 0$:

$\begin{array}{rl}\mathrm{tri}\left(\frac{t}{a}\right)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{|a|}\mathrm{rect}\left(\frac{\tau }{a}\right)\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-\tau }{a}\right)d\tau \\ & =\{\begin{array}{ll}1-|t/a|,& |t|<|a|;\\ 0& \text{תרחא}\end{array}\end{array}$

התמרת פורייה

התמרת פורייה מוגדרת כדלקמן:

$\begin{array}{rl}{ℱ}\{\mathrm{tri}(t)\}& ={ℱ}\{\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)\}\\ & ={ℱ}\{\mathrm{rect}(t)\}\cdot {ℱ}\{\mathrm{rect}(t)\}\\ & ={ℱ}\{\mathrm{rect}(t){\}}^2\\ & ={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(f),\end{array}$

כאשר $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$ היא פונקציית ה-sinc המנורמלת.

ראו גם

• התמרת פורייה
• פונקציית המלבן
• התפלגות משולשת

קישורים חיצוניים

• פונקציית המשולש, באתר MathWorld (באנגלית)