sinc

במתמטיקה, sinc (קיצור של sine cardinal), שמסומנת $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$, היא פונקציה המוגדרת בדרך כלל כך:

פונקציית ה-sinc המנורמלת (בכחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור $-6\pi \le x\le 6\pi$.

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (x)}{x}$

בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, נעשה לרוב שימוש בפונקציית ה-sinc המנורמלת, המוגדרת כך:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה $x=0$ נקבע לעיתים קרובות כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

תכונות

לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

• $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(0)=1$ ו $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(k)=0$ עבור $k\ne 0$ and ו $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
• הפונקציות $x_k(t)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t-k)$ יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות $L^2(\mathbb{ℝ})$ עם תדירות זוויתית מקסימלית ${\omega }_{\mathrm{H}}=\pi$ (כלומר התדירות המקסימלית היא $f_{\mathrm{H}}=1/2$).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:

• נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת $\frac{\sin (x)}{x}$ מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר $\frac{\sin (x)}{x}=\cos (x)$ לכל נקודה בה הנגזרת של $\frac{\sin (x)}{x}$ היא 0.
• פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, $j_0(x)=\frac{\sin (x)}{x}$. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת $j_0(\pi x)$.
• האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי ($\pi$). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ הם מספרים שלמים השונים מאפס.
• התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ הוא $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)e^{-2\pi ift}\mathrm{d}t=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$,

כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.

• אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\mathrm{d}x=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(0)=1$

הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\right|\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }$

• $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$
• $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

כאשר $\mathrm{\Gamma }(x)$ היא פונקציית גמא.

• $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin (\theta )}{\theta }\mathrm{d}\theta =\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$

כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).

• לפי נוסחת אוילר:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}$

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק

אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק $\delta (x)$ כך:

$\underset{a\to 0}{\lim }\frac{1}{a}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sinc</mrow>}(x/a)=\delta (x)$

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

$\underset{a\to 0}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{a}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sinc</mrow>}(x/a)\phi (x)\mathrm{d}x=\phi (0),$

לכל פונקציה חלקה $\phi (x)$ עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של $\pm 1/(\pi x)$, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של $\delta (x)$ כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

ראו גם

• הגבול של sin(x)/x
• אנטי אליאסינג (Anti-aliasing)
• מסנן sinc (Sinc filter)
• נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא Sinc בוויקישיתוף   

• sinc באתר MathWorld
• .html Sinc, באתר MathWorld (באנגלית)