עקרון המקסימום

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם $f$ פונקציה הולומורפית בתחום $D$ וקיים $z\in D$ שהוא מקסימום מקומי של $|f|$ אז $f$ קבועה.

הגרף של $|\cos (z)|$ בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה.

בנוסח שקול, אם $f$ רציפה בקבוצה קומפקטית $\overline{D}$, והולומורפית בפנים שלה, אזי המקסימום של $|f|$ ב-$\overline{D}$ מתקבל על השפה $\partial \overline{D}$.

הוכחה

יהי $z_0\in D$ מקסימום מקומי של $|f|$. לכן קיים $R>0$ קטן מספיק כך שבעיגול $|z-z_0|<R$ מתקיים כי $f$ הולומורפית ו-$z_0$ מקסימום מוחלט של $|f|$.

יהי $0\le r<R$. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z_0+r{e}^{\theta i})d\theta$

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

$|f(z_0)|\le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0+r{e}^{\theta i})|d\theta \le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0)|d\theta =|f(z_0)|$

זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים המתחילה ומסתיימת באותו מספר, ועל כן כולם שוויונות. לכן:

$(*)\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0+r{e}^{\theta i})|d\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0)|d\theta$

נגדיר $g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left(\right|f(z_0)|-|f(z_0+r{e}^{\theta i})\left|\right)d\theta$ בקטע $[0,2\pi ]$. $g$ עולה חלש, שכן מהמקסימליות של $|f(z_0)|$:

$g^{\prime }(\theta )=|f(z_0)|-|f(z_0+r{e}^{\theta i})|\ge 0$

אולם מ-$(*)$ נובע כי $g(0)=g(2\pi )=0$, ולכן $g(x)=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$. מכאן $g^{\prime }(\theta )=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$, כלומר:

$|f(z_0+r{e}^{\theta i})|=|f(z_0)|$

קיבלנו כי $|f|$ קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם $f$ קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע כי $f$ קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית

ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה $u(x,y)=x$ עם $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ שווה זהותית לאפס על $\{0\}\times (0,1)$ אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט – אם $u$ פונקציה הרמונית בתחום $\mathrm{\Omega }$, ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה $z_0\in \mathrm{\Omega }$, אזי היא קבועה בסביבת $z_0$.

הגרסה הכללית היא:

משפט – אם $u$ הרמונית בתחום חסום $\mathrm{\Omega }$, ורציפה בשפה $\partial \mathrm{\Omega }$, אזי: אם קיימת $z_0\in \mathrm{\Omega }$ כאשר $\underset{z\in \bar{\mathrm{\Omega }}}{\max }u(z)=u(z_0)$ אזי היא קבועה ב-$\mathrm{\Omega }$.

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם $f$ פונקציה שלמה ומתקיים $\mathrm{\forall }|z|=1:f(z)\in \mathbb{ℝ}$, אז $f$ קבועה, משום שמתקיים $\mathrm{\forall }|z|=1:\mathrm{I}\mathrm{m}(f(z))=0$ ולפי עקרון המקסימום $\mathrm{\forall }|z|\le 1:\mathrm{I}\mathrm{m}(f(z))=0$, ואז הפונקציה $e^{if(z)}:D\to \{|z|=1\}$ איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם $f$ קבועה.

קישורים חיצוניים

• .html עקרון המקסימום, באתר MathWorld (באנגלית)