אי-שוויון (מתמטיקה)

אי-שוויון הוא שם משותף לשני סוגי טענות במתמטיקה. הטענה הראשונה היא ששני ערכים a ו־b שונים זה מזה, שאותה מסמנים $a\ne b$. הטענה השנייה היא שאחד מן הערכים גדול מהשני, שאותה מסמנים $a<b$ או $b>a$, טענה זו נקראת אי-שוויון חזק. הטענה שאחד הערכים גדול או שווה לשני, שאותה מסמנים $a\le b$ או $b\ge a$, נקראת אי-שוויון חלש.

פעולות באי-שוויונות

יחס הסדר על הישר הממשי הוא ליניארי, כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון: $a<b$, $a=b$ או $a>b$. בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).

משוואות כמו $2x+4y=6,x-5y=0$ אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:

1. אם $a<b$ אז לכל c, $a+c<b+c$;
2. אם $a<b$ ו-$d$ חיובי, אז גם $ad<bd$; אם $d$ שלילי, אז $ad>bd$;
3. אם $0<a<b$, אז גם ${a}^2<b^2$.

החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון האי-שוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על האי-שוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).

מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, הטרנזיטיביות שלו) נובע גם ש-

1. אם $a<b$ ו- $c<d$ אז $a+c<b+d$;
2. אם $0<a<b$ ו- $0<c<d$ אז $ac<bd$.

מערכת של אי-שוויונות ליניאריים

האלגברה הליניארית עוסקת במערכות של משוואות ליניאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה ליניארית מגבילה את הפתרון לעל-מישור (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה פאון (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות ריק אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות בתכנון ליניארי.

כדי שלמערכת של משוואות ליניאריות (כמו $x+y=1,x+z=1,z-y=6$) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות תלות ליניארית בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויונות $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j>0$ ($i=1,\dots ,m$) לא יהיה פתרון, מוכרח להיות צירוף ליניארי עם מקדמים חיוביים של האי-שוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים ${b}_1,\dots ,b_m\ge 0$, שאינם כולם אפס, כך ש- $\sum _{i=1}^m{b}_i(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j)=0$.

הכללה

יחס הסדר המוגדר על שדה המספרים הממשיים הופך אותו לשדה סדור; הסימונים, הפעולות והתכונות של יחס הסדר של הממשיים חלים באותו אופן בכל שדה סדור.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון בוויקישיתוף

• .html אי-שוויון, באתר MathWorld (באנגלית)   

• אי-שוויונות, באתר לרגו