סימן קרונקר

בתורת המספרים סימן קרוניקר הוא הרחבה של סימן לז'נדר ושל סימן יעקובי המוגדרת עבור כל המספרים השלמים. המושג הוגדר על ידי לאופולד קרונקר בשנת 1885.

הגדרה פורמלית

• נזכיר שעבור כל מספר טבעי $a$ ומספר ראשוני אי-זוגי $p$ סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

$a$ מתחלק ב־$p$ ללא שארית. $a$ זר ל־$p$ והוא שארית ריבועית מודולו $p$. $a$ זר ל־$p$ ואינו שארית ריבועית מודולו $p$.

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{lll}0& :a\equiv 0(\mathrm{mod}p)& \\ 1& :a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p),& a\equiv x^2(\mathrm{mod}p)\\ -1& :a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p),& a\equiv ̸x^2(\mathrm{mod}p)\end{array}$

• כעת נגדיר:

$$\left(\frac{a}{2}\right):=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }a\text{ is even,}\\ 1& \text{if }a\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8),\\ -1& \text{if }a\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8).\end{array}$$

• נגדיר גם

$$\left(\frac{a}{-1}\right):=\{\begin{array}{ll}-1& \text{if }a<0,\\ 1& \text{if }a\ge 0.\end{array}$$

• כעת עבור $d$ שלם (שונה מ - 0) כלשהו מפרקים את $d$ לגורמים ראשוניים (לאו דווקא שונים) $d=u{p}_1\cdots p_n$ כאשר $u=\pm 1$ ונגדיר את סימן קרונקר:

$$\left(\frac{a}{d}\right):=\left(\frac{a}{u}\right)\prod _{i=1}^n\left(\frac{a}{p_i}\right)$$

• לבסוף נגדיר$$\left(\frac{a}{0}\right):=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }a=\pm 1,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$$

קישורים חיצוניים

• .html סימן קרונקר, באתר MathWorld (באנגלית)