סימן לז'נדר

סימן לז'נדר (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר) הוא מושג בתורת המספרים. מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.

סימן יעקובי וסימן קרונקר הם הרחבות של סימן לז'נדר.

הגדרה

יהי $p$ מספר ראשוני אי־זוגי ויהי $a$ מספר שלם. סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

(\frac{a}{p}) = {\begin{cases} 0 & : a \equiv 0 (\mod p) \\ 1 & : a \equiv̸ 0 (\mod p), & a \equiv x^{2} (\mod p) \\ - 1 & : a \equiv̸ 0 (\mod p), & a \equiv̸ x^{2} (\mod p) \end{cases}

הגדרתו המקורית של לז'נדר הייתה באמצעות הנוסחה המפורשת:

(\frac{a}{p}) \equiv a^{(p - 1) / 2} (\mod p) : (\frac{a}{p}) \in {- 1, 0, 1}

יהיו $p, q$ ראשוניים אי־זוגיים ו־ $a, b$ שלמים, אזי:

$(\frac{a b}{p}) = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$
$(\frac{1}{p}) = 1$
$(\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}} = {\begin{cases} 1 & : p \equiv 1 (\mod 4) \\ - 1 & : p \equiv 3 (\mod 4) \end{cases}$
$(\frac{2}{p}) = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}} = {\begin{cases} 1 & : p \equiv \pm 1 (\mod 8) \\ - 1 & : p \equiv \pm 3 (\mod 8) \end{cases}$
$(\frac{3}{p}) = {\begin{cases} 1 & : p \equiv \pm 1 (\mod 12) \\ - 1 & : p \equiv \pm 5 (\mod 12) \end{cases}$
$(\frac{5}{p}) = {\begin{cases} 1 & : p \equiv \pm 1 (\mod 5) \\ - 1 & : p \equiv \pm 2 (\mod 5) \end{cases}$
$(\frac{p}{q}) (\frac{q}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2} \frac{q - 1}{2}}$ (משפט ההדדיות הריבועית)