נוסחת וודברי

באלגברה ליניארית שבמתמטיקה, נוסחת וודברי (או נוסחת וודברי להיפוך מטריצות) היא נוסחה לחישוב ההופכי של מטריצה אחרי שינוי מדרגה k. הנוסחה נקראת על שם מקס וודברי, אשר פרסם את התוצאה ב-1950. גרסה לנוסחה זו עבור שינוי מדרגה 1 נקראת נוסחת שרמן-מוריסון.

ניסוח הנוסחה

יהיו:

אז:

{(A + U C V)}^{- 1} = A^{- 1} - A^{- 1} U {(C^{- 1} + V A^{- 1} U)}^{- 1} V A^{- 1}

ניתן לבדוק בקלות את נכונות הנוסחא, על ידי חישוב הכפל:

\begin{aligned} (A + U C V) [A^{- 1} - A^{- 1} U {(C^{- 1} + V A^{- 1} U)}^{- 1} V A^{- 1}] & = I + U C V A^{- 1} - (U + U C V A^{- 1} U) (C^{- 1} + V A^{- 1} U)^{- 1} V A^{- 1} \\ = I + U C V A^{- 1} - U C (C^{- 1} + V A^{- 1} U) (C^{- 1} + V A^{- 1} U)^{- 1} V A^{- 1} \\ = I + U C V A^{- 1} - U C V A^{- 1} = I . \end{aligned}

בהינתן חישב מוקדם של ההופכי של A, סיבוכיות החישוב של ${(A + U C V)}^{- 1}$ היא $𝒪 (n^{2} k + k^{3})$ במקום $𝒪 (n^{3})$ בחישוב נאיבי.

String Module Error: Target string is empty.html נוסחת וודברי, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.