נוסחת שרמן-מוריסון

באלגברה לינארית, הנוסחה של שרמן-מוריסון נקראת על שם ג'ק שרמן וויניפרד ג'יי מוריסון. הנוסחה מחשבת היפוך מטריצה "בעדכון מדרגה 1" למטריצה שההיפוך שלה חושב בעבר. כלומר, בהינתן מטריצה הפיכה $A$ והמכפלה החיצונית $u{v}^{\text{T}}$ של וקטורים $u$ ו $v,$ הנוסחה מחשבת $(A+u{v}^{\text{T}}){\phantom{)}}^{-1}.$.

הנוסחה של שרמן-מוריסון היא מקרה מיוחד של הנוסחה של וודברי .

הנוסחה

נניח מטריצה ריבועית הפיכה $A\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$ ו- $u,v\in {\mathbb{ℝ}}^n$ הם וקטורי עמודות . אז מטריצה $A+u{v}^{\text{T}}$ הפיכה אם ורק אם $1+v^{\text{T}}{A}^{-1}u\ne 0$ . במקרה זה,

${(A+u{v}^{\text{T}})}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}u{v}^{\text{T}}{A}^{-1}}{1+v^{\text{T}}{A}^{-1}u}.$

כאשר, $u{v}^{\text{T}}$ הוא המכפלה החיצונית של שני וקטורי עמודה $u$ ו $v$ .

ראו גם

• זהות מטריצת וודברי
• משפט הפוך בינומי