חוג מנה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג R ואידיאל דו-צדדי I, ב-R בונים את חוג המנה R/I. מבחינה אינטואיטיבית, R/I מתקבל מ-R על ידי איפוס של כל איברי I.

בניית חוג המנה

בהינתן חוג R ואידיאל דו-צדדי I, ניתן להגדיר יחס שקילות ∼ על R על ידי: a∼b אם ורק אם b−a∈I, ואומרים כי a שקול ל-b מודולו I. מחלקת השקילות של איבר a ב-R נתונה על ידי: [a]=a+I={a+r:r∈I}. מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של a מודולו I. את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-R/I. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה R מודולו I על ידי הפעולות:

[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]
[a]⋅[b]=(a+I)⋅(b+I)=a⋅b+I=[a⋅b]

מתכונת הבליעה של אידיאל דו-צדדי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר – הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של R/I מוגדר להיות [0]=0+I=I ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות [1]=1+I. ביחס לפעולות ואיברים אלו, R/I הוא חוג. ההעתקה ρ:R→R/I המוגדרת על ידי ρ(x)=[x]=x+I היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של R/I נובע כי זהו הומומורפיזם על.

תכונות

  • אם R הוא חוג חילופי, ו-I הוא אידיאל ב-R, אז גם R/I הוא חוג חילופי; ייתכן כי R/I הוא חילופי בעוד ש-R אינו.
  • הגרעין של ההעתקה הטבעית ρ:R→R/I שווה ל-I. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידיאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה R/I שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על R ואשר מתאפסים על I. ליתר דיוק, בהינתן אידיאל דו-צדדי I בחוג R והומומורפיזם של חוגים f:R→S אשר גרעינו מכיל את I, קיים הומומורפיזם יחיד g:R/I→S כך ש-g∘ρ=f. ההעתקה g מוגדרת על ידי הכלל g([a])=f(a).
  • כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומורפיזם של חוגים f:R→S משרה איזומורפיזם בין חוג המנה R/ker⁡(f) לתמונה Im(f).
  • באמצעות ההעתקה הטבעית מ-R ל-R/I ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידיאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין האידיאלים ב-R המכילים את I לבין האידיאלים של R/I. יתר על כן, אם J הוא אידיאל ב-R המכיל את I, ו-J/I היא התמונה שלו ב-R/I, אז חוגי המנה R/J ו-(R/I)/(J/I) איזומורפיים. ולכן מתקיים ש-J ראשוני/מקסימלי אם ורק אם J/I מקסימלי/ראשוני.

דוגמאות

  • הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידיאלים הקיצוניים ביותר" בחוג – אידיאל האפס והחוג כולו. לכל חוג R מתקיים R/{0}≅R ו-R/R≅{0}. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידיאל I "גדול יותר" כך החוג R/I "קטן יותר".
  • בחוג המספרים השלמים ℤ, נסמן בnℤ את האידיאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון n. עבור x,y∈ℤ מתקיים x−y∈nℤ אם ורק אם ל-x,y יש אותה שארית חלוקה ב-n. לכן, חוג המנה ℤ/nℤ מכיל n איברים – מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: {[0],[1],…,[n−1]}. מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו – זהו חוג בסיסי במתמטיקה.
  • שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור F3=ℤ/3ℤ, השדה בעל 3 איברים, הפולינום f(x)=x2+1 הוא אי-פריק מעל F3 (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה F3[x]/⟨f⟩. זהו שדה עם 32=9 איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.
  • חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה V={(x,y):x2=y3}⊆ℝ2, ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה ℝ[x,y]/(x2−y3), וזהו חוג הקואורדינטות של V. ניתן ללמוד על הגאומטריה של V על ידי חקירה של חוג זה.
  • נניח כי M היא יריעה דיפרנציאלית וכי p היא נקודה על M. בחוג R=C∞(M) – חוג הפונקציות החלקות על M, יהי I האידיאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של p. חוג המנה R/I נקרא חוג הנבטים של M ב-p. באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של M קרוב ל-p.

ראו גם

קישורים חיצוניים

אוחזר מתוך "https://ivritpedia.com/index.php?title=חוג_מנה&oldid=210789"