גרעין (אלגברה)

גרעין (באנגלית: Kernel) של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האיברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי (לדוגמה: איבר האפס של מרחב וקטורי, איבר האפס של חוג, האיבר הנייטרלי של חבורה). הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה $f : A \to B$ ב- $Ker (f)$ או $\ker (f)$ (לעיתים משמיטים את הסוגריים ורושמים $\ker f$ ).

דוגמאות

אם $T : V \to W$ הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו $Ker (T) = {v \in V : T (v) = 0}$ הוא תת-מרחב של $V$ , שממדו $\dim (V) - rank (T)$ .
אם $f : G \to H$ הומומורפיזם של חבורות, הגרעין $Ker (f) = {x \in G : f (x) = e_{H}}$ הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה $G / Ker (f)$ איזומורפית לתמונה $Im (f)$ .
אם $f : R \to S$ הומומורפיזם של חוגים, הגרעין $Ker (f) = {x \in R : f (x) = 0}$ הוא אידיאל דו-צדדי, וחוג המנה $R / Ker (f)$ איזומורפי לתמונה $Im (f)$ .
אם $f : M \to N$ הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין $Ker (f) = {x \in M : f (x) = 0}$ הוא תת-מודול של $M$ , ומודול המנה $M / Ker (f)$ איזומורפי לתמונה $Im (f)$ .
ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה מנוקדת (pointed set). אם $f : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז $Ker (f) = {x \in X : f (x) = y_{0}}$ .

ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.

ראו גם

מרחב פתרונות

קישורים חיצוניים

String Module Error: Target string is empty.html גרעין, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.