דינמיקה הולומורפית

דינמיקה הולומורפית היא תחום בחקר מערכות דינמיות המתמקד במערכות דינמיות הנתונות על ידי פונקציה הולומורפית.

הגדרות

ערך מורחב – מערכת דינמית

באופן כללי מערכת דינמית בדידה היא זוג, המורכב מקבוצה $X$ ופונקציה $f$ מ-$X$ לעצמה. דינמיקה הולומורפית עוסקת במקרה בו $X$ היא יריעה אנליטית (למשל ${\mathbb{ℂ}}^n$) ו-$f$ היא פונקציה הולומורפית.

שאלות בדינמיקה הולומורפית

השאלה הבסיסית בחקר מערכות דינמיות היא זו: בהינתן נקודה $x_0\in X$, איך מתנהגת הסדרה $f^n(x_0)$ שמתקבלת מהפעלת הפונקציה על $x_0$ ואז על תוצאת ההפעלה וכך הלאה עד אינסוף. סדרות כאלה נקראות מסלולים.

יציבות של נקודות שבת ומסלולים מחזוריים

התנהגות אפשרית אחת היא התכנסות לנקודת שֶבת. נקודת שֶבֶת היא נקודה $x\in X$ המקיימת $f(x)=x$. נקודת שבת $x\in X$ נקראת יציבה אם בהינתן נקודה $x_0\in X$ הקרובה מספיק ל $x$, אז הסדרה $f^n(x_0)$ מתכנסת ל$x$.

בהינתן נקודת שבת יציבה יש מסלולים רבים שמתכנסים אליה. משימת איתור נקודות שבת שקולה לפתרון משוואה, ולכן קלה יחסית. בדרך כלל ניתן לבדוק האם נקודת שבת היא יציבה על ידי ניתוח הנגזרת של הפונקציה בנקודת השבת, ולכן גם זו משימה לא קשה.

מיון נקודות השבת של מערכת דינמית היא השלב הראשון בחקירתה.

התנהגות אפשרית אחת היא היתכנות למסלול מחזורי. מסלול מחזורי הוא מסלול $f^n(x)$ המקיים $f^{n+k}(x)=f^n(x)$ עבור $k$ מסוים וכל $n$. מסלול שבו במקום מסוים מופיעה הנקודה המקורית. אומרים שמסלול מתכנס למסלול מחזורי אם החל ממקום מסוים הוא קרוב כרצוננו למסלול מחזורי. מסלול מחזורי נקרא יציב אם בהינתן נקודה $x_0$ קרובה מספיק לאחת מנקודות המסלול, הסדרה $f^n(x_0)$ מתכנסת למסלול המחזורי.

ניתוח המסלולים המחזוריים ממחזור נתון $k$ ויציבותם שקול לניתוח נקודות השבת של $f^k$. מכאן שעבור $k$ ספציפי מדובר במשימה פשוטה למדי. אולם ניתוח כל המסלולים המחזוריים ויצובותם הוא משימה מסובכת בהרבה.

קבוצות ז'וליה ופאטו

קל יותר לנתח מערכות דינמיות כאשר הקבוצה $X$ היא קומפקטית. במקרים רבים, גם אם $X$ לא קומפקטי אפשר לחקור את המערכת הדינמית על ידי מערכת דומה על הקומפקטיפיקציה של $X$. לדוגמה ספירה של רימן מהווה קומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (המתקבלת מהוסיפת נקודה באינסוף).

בהינתן מערכת דינמית על קבוצה קומפקטית $X$ ניתן לחלק את $X$ לשתי קבוצות:

• קבוצת פאטו - אוסף הנקודות $x_0$ כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי קטן בסדרה $f^n(x_0)$
• קבוצת ז'וליה - אוסף הנקודות $x_0$ כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי גדול בסדרה $f^n(x_0)$

מערכות דינמיות המוגדרות על ידי פולינום ריבועי בימשור המרוכב

ערכים מורחבים – מערכת דינמית הנתונה על ידי פולינום ריבועי במשתנה מרוכב אחד, קבוצת מנדלברוט

מערכות דינמיות המוגדרות על ידי פונקציות ליניאריות הן פשוטת מאוד. כך שהדוגמה הלא טריוויאלית הראשונה של מערכת דינמית הולומורפית היא מערכת דינמית המוגדרת על ידי פולינום ממעלה שנייה ממשתנה מרוכב אחד. מערכת כזאת תמיד שקולה למערכת המוגדרת על ידי הפונקציה $f_c(z):=z^2+c$. ניתן להרחיב מערכת זאת בקלות לסיפרה של רימן.

ניתן לחקור את "כל המערכות האלה ביחד" על ידי קבוצת מנדלברוט. קבוצת מנדלברוט מוגדרת להיות אוסף כל המספרים $c$ כך ש הסדרה $f_c^n(0)$ חסומה. השתיכותה של נקודה $c$ לקבוצת מנדלברוט מספקת מידע רב על המערכת המוגדרת על ידי $f_c(z):=z^2+c$. ליתר דיוק, עבור המערכת הדינמית המוגדרת על ידי הפונקציה $f_c(z)$ מתקיימות התכונות הבאות:

1. עבור כל $x_0$ המקיים $|x_0|>2$ הסדרה $f_c^n(x_0)$ שואפת לאינסוף. זה מאפשר לקבוע בקלות יחסית שנקודה מסוימת לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט.
2. למערכת יש לא יותר ממסלול מחזורי אחד.
3. למערכת יש מסלול מחזורי אם ורק אם המסלול המתחיל ב-0 מתכנס למסלול מחזורי.
4. קבוצת ז'וליה של המערכת קשירה אם ורק אם $c$ נמצאת בקבוצת מנדלברוט.
5. אם $c$ לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט אז קבוצת ז'וליה של המערכת הומיאומורפית לקבוצת קנטור ובפרט בלתי קשירה לחלוטין.
6. אם למערכת יש נקודת שבת יציבה אז קבוצת ז'וליה של המערכת היא עקום פשוט (רציף ובדרך כלל לא חלק) סגור. בהתאם, לפי משפט העקום של ז'ורדן, לקבוצת פאטו של המערכת יש בדיוק שני רכיבי קשירות (האחד תחום על ידי קבוצת ז'וליה והאחר מחוצה לה).
7. אם למערכת יש מסלול מחזורי יציב (שאינו נקודת שבת) אז לקבוצת פאטו של המערכת יש אינסוף רכיבי קשירות.
8. אוסף הנקודות $c$, עבורן למערכת יש מסלול מחזורי יציב הוא איחוד של רכיבי קשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט. רכיבים אלו נקראים רכיבים היפרבוליים של קבוצת מנדלברוט. משערים שאוסף זה מהווה את כל הפנים של קבוצת מנדלברוט.
9. אוסף הנקודות $c$, עבורן למערכת יש נקודת שבת יציבה הוא רכיב קשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט. רכיב זה נקרא הקרדאידה הראשית של קבוצת מנדלברוט.

קישורים חיצוניים

• קורס על דינמקה מרוכבת.
• וידאו של 3Blue1Brown על דינמיקה הולומורפית.
• וידאו של Matheologer על דינמיקה הולומורפית.
• וידאו של numberphile על דינמיקה הולומורפית.