אי-שוויון הלדר

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית. אי-שוויון זה מהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

אי-השוויון הוכח על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס בשנת 1888, ובאופן לא תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

אי-השוויון

המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי $(X,\sigma ,\mu )$ מרחב מידה. עבור קבוע $r\in \mathbb{ℝ}$, לכל $f:X\to \mathbb{ℂ}$ נהוג לסמן: $$\Vert f{\Vert }_r\equiv {\left(\underset{X}{\int }{\left|f\right|}^{r}d\mu \right)}^{1/r}$$ יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם $f\in L^r(\mu )$ (כלומר $\int f^r<\mathrm{\infty }$).

אי-השוויון קובע שלכל $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ המקיימים $1/p+1/q=1$, לכל זוג פונקציות מדידות $f,g:X\to \mathbb{ℂ}$, מתקיים כי: $$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$

אם מתקיים בנוסף כי $p,q\in (1,\mathrm{\infty })$ וכן גם $f\in L^p(\mu )$, $g\in L^q(\mu )$, אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם ${\left|f\right|}^p,{\left|g\right|}^q$ תלויות ליניארית במרחב $L^1(\mu )$, כלומר קיים $c\ge 0$ כך שמתקיים ${\left|f\right|}^p=c\cdot {\left|g\right|}^q$ כמעט תמיד ביחס ל-$\mu$.

מקרים פרטיים חשובים

ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:

$\sum _{i=1}^n{a}_i^{\alpha }\cdot b_i^{\beta }\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)}^{\beta }$

עבור $a_i,b_i,\alpha ,\beta \ge 0$ כאשר $\alpha +\beta =1$.

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה: $$\sum _{i=1}^n{a}_i^{\alpha }\cdot b_i^{\beta }\cdot c_i^{\gamma }\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)}^{\beta }\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{c}_i\right)}^{\gamma }$$ כאשר $\alpha +\beta +\gamma =1$ וגם $\alpha ,\beta ,\gamma \ge 0$

כאשר $\alpha =\beta =\frac{1}{2}$ מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: ${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}\ge \sum _{i=1}^n{\left(a_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(b_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ ולכן סה"כ $\sum _{i=1}^n{a}_i^2\cdot \sum _{i=1}^n{b}_i^2\ge {\left(\sum _{i=1}^n\left|a_i{b}_i\right|\right)}^2$

הוכחה

נשים לב שלכל $x,y\ge 0$ מתקיימת הטענה הבאה: $x^{\alpha }\cdot y^{\beta }\le \alpha \cdot x+\beta \cdot y$. זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי $\log$ היא פונקציה קעורה ולכן: $\alpha \cdot \log (x)+\beta \cdot \log (y)\le \log (\alpha \cdot x+\beta \cdot y)$.

כעת נסמן $S_a=\sum _{i=1}^n{a}_i,S_b=\sum _{i=1}^n{b}_i$ ולפי הטענה הנ"ל מתקיים $$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{a_i}{S_a}\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\frac{b_i}{S_b}\right)}^{\beta }\le \sum _{i=1}^n(\alpha \cdot \frac{a_i}{S_a})+\sum _{i=1}^n(\beta \cdot \frac{b_i}{S_b})=\alpha +\beta =1$$ נכפיל את שני האגפים ב $S_a^{\alpha }\cdot S_b^{\beta }$ ונקבל את אי השוויון הרצוי $\sum _{i=1}^n{a}_i^{\alpha }\cdot b_i^{\beta }\le S_a^{\alpha }\cdot S_b^{\beta }$.

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.

קישורים חיצוניים

• .html אי-שוויון הלדר, באתר MathWorld (באנגלית)