אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ

בתורת ההסתברות, אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ הוא אי-שוויון החוסם את המרחק בין התפלגות דגימה לבין ההתפלגות התאורטית שממנה נלקחת הדגימה. אי-השוויון קרוי על-שם המתמטיקאים אריה דבורצקי, ג'ק קיפר וג'ייקוב וולפוביץ שגילו אותו ב-1956. בגרסה המקורית הופיע באגף ימין של אי-השוויון גורם קבוע C, שערכו לא הוגדר. ב-1990 מצא Pascal Massart את ערכו המדויק של הקבוע, והראה שלא ניתן לשפר את התוצאה מעבר אליו.

אי-השוויון

עבור מספר טבעי $n$, יהיו $X_1,\dots ,X_n$ משתנים מקריים ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות $F$. נסמן ב- $F_n$ את פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית המתקבלת מן המדגם: $F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{1}_{(-\mathrm{\infty },x]}(X_i),x\in \mathbb{ℝ}.$. אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ חוסם את הסיכוי שהפונקציה המקרית $F_n$ תהיה רחוקה מ-$F$ ביותר מקבוע $\epsilon >0$ במקום כלשהו על הישר הממשי. ליתר דיוק,$\mathbb{\mathbb{P}}(\underset{x\in \mathbb{ℝ}}{\sup }|F_n(x)-F(x)|>\epsilon )\le 2e^{-2n{\epsilon }^2}$ לכל $\epsilon >0$. תוצאה זו מחזקת את משפט גליבנקו-קנטלי, בכך שהיא קובעת את קצב ההתכנסות של המרחק כאשר n גדל לאינסוף. אי-השוויון מספק גם אומדן להסתברות הזנב של הסטטיסטי של קולמוגורוב-סמירנוב.

לדוגמה, אם דוגמים $n=150$ ערכים מהתפלגות לא ידועה $F$, ומגדירים $F_n$ כמקודם, אז הסיכוי לכך שתהיה נקודה ממשית שבה $|F(x)-F_n(x)|>0.1$ קטן מ-$2e^{-2n\cdot 0.1^2}=2e^{-3}\approx 0.1$. השגיאה יורדת בקצב אקספוננציאלי בגודל המדגם.