תרבוע גאוסיאני

השוואה בין תרבוע גאוסיאני לתרבוע טרפזואידי ב-2 נקודות. הקו הכחול הוא הפולינום $y(x)=7x^3-8x^2-3x+3$, אשר האינטגרל שלו בקטע [1,1-] הוא 2/3. כלל הטרפז מחזיר את האינטגרל של הקו הכתום המקווקו, ששווה ל-$y(-1)+y(1)=-10$. כלל התרבוע הגאוסיאני מחזיר את האינטגרל של הקו השחור המקווקו, והוא שווה ל-$y(-\sqrt{1/3})+y(\sqrt{1/3})=2/3$. התוצאה היא מדויקת, כיוון ששטח האזור הירוק שווה לסכום שטחי האזורים האדומים.

באנליזה נומרית, כלל תרבוע הוא שיטת קירוב של האינטגרל המסוים של פונקציה, שבדרך כלל מנוסח כסכום משוקלל של ערכים של הפונקציה בנקודות מסוימות בתוך תחום האינטגרציה. כלל תרבוע גאוסיאני בעל n נקודות הוא כלל תרבוע שנבנה במיוחד לצורך חישוב תוצאה מדויקת לאינטגרל של פולינומים ממעלה $2n-1$ או פחות באמצעות בחירה מתאימה של הצמתים x_i והמשקלים w_i בעבור i= 1, ..., n. תחום האינטגרציה השכיח ביותר של פונקציות הוא הקטע [1,1-], כך שהכלל מנוסח למקרים אלו כך:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i),$

והוא מדויק רק לפולינומים ממעלה $2n-1$ ומטה. כלל זה ידוע בשם תרבוע גאוס–לז'נדר. תרבוע גאוסיאני היא שיטה טובה יותר לעומת שיטת האינטרפולציה של ניוטון-קוטס, משום היא מדויקת לפולינומים ממעלה גבוהה יותר עבור אותו מספר נקודות, וגם מפני שהיא נמנעת מתופעת רונגה. היא הוצגה לראשונה על ידי קרל פרידריך גאוס במאמר מ־1814.

ניתן להראות שצמתי התרבוע x_i הם שורשים של פולינום המשתייך לסדרה של פולינומים אורתוגונליים (אורתוגונליים ביחס למכפלה פנימית מסוימת). זו אבחנה קריטית לחישוב נקודות הצומת והמשקלים של תרבוע גאוסיאני של פונקציה.

המקרה הכללי מנוסח באופן הבא: יהי אינטגרל מהצורה $I_f=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)w(x)dx$ ($w(x)$ פונקציית משקל), אזי קיימות נקודות $x_1,\dots x_n$ ומשקלים $b_1,\dots b_n$ שעבורם כלל הסכימה $S_f=\sum _{j=1}^n{b}_{j}f(x_j)$ מקיים $I_f\approx S_f$, כאשר הקירוב הוא מסדר דיוק אלגברי של $2n$ (כלומר $I_f=S_f$ לכל $f$ פולינום המקיים $deg(f)\le 2n-1$). גאוס הוכיח גם שלא קיים כלל סכימה (תרבוע) בעל דיוק אלגברי גדול יותר, ושקיים רק כלל תרבוע יחיד בעל דיוק אלגברי של $2n$.

קישורים חיצוניים

• .html תרבוע גאוסיאני, באתר MathWorld (באנגלית)