קבוע גאוס

במתמטיקה, קבוע גאוס (מצוין באות G) מוגדר כהופכי של הממוצע האריתמטי-גאומטרי של 1 והשורש הריבועי של 2:

$G=\frac{1}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2})}=0.8346268\dots .$

הקבוע נקרא על שמו של קרל פרידריך גאוס, אשר גילה ב-30 במאי 1799 כי:

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}$

כך שמתקיים:

$G=\frac{1}{2\pi }\beta (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$

כאשר β מציינת את פונקציית בטא.

טרנסצנדנטיות

קבוע גאוס יכול לשמש להצגת פונקציית גמא עבור הארגומנט ¼:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}$

כיוון ש-$\pi$ ו-$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})$ הם בלתי תלויים אלגברית קבוע גאוס הוא מספר טרנסצנדנטי.

ייצוגים אחרים

ניתן להציג את קבוע גאוס באמצעות פונקציית תטא של יעקובי באופן הבא:

$G={\vartheta }_{01}^2(e^{-\pi })$

ניתן להציגו גם כסדרה מתכנסת:

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

וכן כמכפלה אינסופית:

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

ייצוגים נוספים של קבוע גאוס באמצעות אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות ופונקציות היפרבוליות:

$G=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\sin (x)}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\cos (x)}\mathrm{d}x$

$\frac{1}{G}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\cosh (\pi x)}}$

קישורים חיצוניים

• קבוע גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)
• קבוע גאוס באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים