שלושה חוטים ישרים ואינסופיים בעלי צפיפות מסה אורכית זהה נמצאים במישור אחד ויוצרים משולש. הוכח שעל חלקיק שיושם בנקודת מפגש התיכונים יפעל כוח גרביטציוני שקול השווה לאפס.
| פתרון
|
| כידוע כוח הכבידה שיוצר תיל אינסופי פרופורציונלי להיפוך המרחק ממנו. נוריד גבהים מנקודת מפגש התיכונים לכל אחת מצלעות המשולש. כיוון שנקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס של 1:2 נובע ששטח כל משולש הנוצר על ידי שניים מקודקודי המשולש ונקודת מפגש התיכונים שווה לשליש משטח המשולש הגדול, על כן כל גובה המורד מנקודת מפגש התיכונים לצלעות שווה לשליש הגובה המתאים במשולש הגדול. כעת נשרטט שלושה וקטורים המייצגים את הכוחות המפעילים כל אחד מהחוטים על חלקיק המושם בנקודת מפגש התיכונים. כל אחד מהכוחות פרופורציונלי ל- וכיוונו ככיוון הגובה המורד ממנו לחוט. כיוון ששטח המשולש הגדול מקיים: (כנ"ל גבי כל אחת מהצלעות האחרות) נקבל שכל אחד מהכוחות פרופורציונלי לאורך הצלע המתאימה במשולש
. כיוון שכיוון כל אחד מהגבהים מאונך לצלע אליו הוא מורד ניתן להפעיל על כל אחד מווקטורי הכוחות העתקה מקבילה ולהפוך את שלושת הווקטורים למשולש וקטורי, וכידוע סכום וקטורים המהווים צלעות משולש כאשר הולכים בכיוון השעון הוא אפס, לכן על חלקיק שיושם בנקודת מפגש התיכונים יפעל כח גרביטציוני אפס. מ.ש.ל
הערה: ההוכחה למעשה מנצלת את העובדה שמפגש התיכונים, כמרכז הכובד של המשולש, היא הנקודה היחידה שמחלקת אותו ביחס שווה יחסית לכל אחד מהצלעות (יחס של 2:1), וכאן טמונה מהות ההוכחה.
|
|