פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

גרף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$

לפונקציה $1/\ln (t)$ יש סינגולריות בתחום t=1, ולכן הפונקציה מוגדרת במדויק לכל $x<1$, ומוגדרת לכל $x>1$ באמצעות הערך הראשי של קושי (Cauchy Princpal value), בנוסחה:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{dt}{\ln t}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}).$

פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך

פונקציית האינטגרל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגרתמי של אוילר מוגדרת להיות:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-\mathrm{l}\mathrm{i}(2)$

או בצורה אינטגרלית:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}$.

פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית, והיא מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-x.

הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי

לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי (Ei(x)) על ידי המשוואה:

$\text{li}(x)=\text{Ei}(\ln x),$

שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(e^u)=\text{Ei}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{n\cdot n!}\text{ for }u\ne 0,$

חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln \ln x+\sqrt{x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(\ln x{)}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.$

הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית

ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. לדוגמה:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=O\left(\frac{x}{\ln x}\right).$

כאשר O הוא סימון לנדאו. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)\sim \frac{x}{\ln x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(\ln x{)}^k}$

או:

$\frac{\mathrm{l}\mathrm{i}(x)}{x/\ln x}\sim 1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2}{(\ln x{)}^2}+\frac{6}{(\ln x{)}^3}+\cdots .$

רישום זה גורר לרישם הבא:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-\frac{x}{\ln x}=O\left(\frac{x}{{\ln }^{2}x}\right).$

הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של איברים.

ערכים מיוחדים של הפונקציה

לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא x ≈ 1.45136 92348 ... .בנוסף לכך, הערך של הפונקציה בנקודה x=2 הוא $-(\mathrm{\Gamma }(0,-\ln 2)+i\pi )$ כאשר $\mathrm{\Gamma }(a,x)$ היא פונקציית גמא הלא שלמה.

ראו גם

• מספר סקיוז
• משפט המספרים הראשוניים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי בוויקישיתוף   

• .html פונקציית האינטגרל הלוגריתמי, באתר MathWorld (באנגלית)