פונקציית בוכשטאב

Graph of the Buchstab function ω(u) from u = 1 to u = 4.

פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה $\omega :{\mathbb{ℝ}}_{\ge 1}\to {\mathbb{ℝ}}_{>0}$, שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:

$\omega (u)=\frac{1}{u},1\le u\le 2,$

$\frac{d}{du}(u\omega (u))=\omega (u-1),u\ge 2.$ . יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.

הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб,‏ 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.

אסימפטוטיות

אם $\gamma$ מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני, אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל $e^{-\gamma }$ כאשר $u\to \mathrm{\infty }$ . למעשה, $|\omega (u)-e^{-\gamma }|\le \frac{\rho (u-1)}{u},u\ge 1,$, כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman). כמו כן, הערך $\omega (u)-e^{-\gamma }$ מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות. המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקבים.

יישומים

פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(x, y) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים: $\mathrm{\Phi }(x,x^{1/u})\sim \omega (u)\frac{x}{\log x^{1/u}},x\to \mathrm{\infty }$

קישורים חיצוניים

• .html פונקציית בוכשטאב, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערות שוליים

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "פונקציית בוכשטאב".