ערך סינגולרי

במתמטיקה, בפרט באנליזה פונקציונלית, הערכים הסינגולריים של אופרטור קומפקטי $T:X\to Y$ בין מרחבי הילברט $X$ ו $Y$, הם השורשים הריבועיים של הערכים העצמיים (אי-שליליים) של האופרטור ההרמיטי $T^{*}T$ (כאשר $T^{*}$ מציין את הצמוד של $T$ ).

הערכים הסינגולריים הם מספרים ממשיים לא שליליים, הרשומים בדרך כלל בסדר יורד ${\sigma }_1(T),...,{\sigma }_n(T)$. הערך הסינגולרי הגדול ביותר ${\sigma }_1(T)$ שווה לנורמת האופרטור של T (ראו משפט מין-מקס).

הדמיה של פירוק ערך יחיד (SVD) של מטריצה דו-ממדית M . ראשית, אנו רואים את מעגל היחידה בכחול יחד עם שני וקטורי היחידה הקנוניים. לאחר מכן אנו רואים את הפעולה של M, אשר משנה את המעגל לאליפסה . ה-SVD מפרק את M לשלוש טרנספורמציות פשוטות: מטריצת סיבוב ^*V, מטריצה Σ המכפילה בסקלר את כל הדיסק. ו-U מטריצת סיבוב שנייה. Σ היא מטריצה אלכסונית המכילה באלכסון שלה את הערכים הסינגולריים של M, המייצגים את האורכים σ ₁ ו- σ ₂ של צירי האליפסה.

אם T פועלת על המרחב האוקלידי ${\mathbb{ℝ}}^n$, יש פרשנות גאומטרית פשוטה לערכים הסינגולריים: נניח והתמונה של $T$ היא תחום היחידה ; הפלט יהיה אליפסואיד, ואורכי צירי האליפסואיד הם הערכים הסינגולרים של $T$ (האיור מספק דוגמה ב ${\mathbb{ℝ}}^2$ ).

הערכים הסינגולריים הם הערכים המוחלטים של הערכים העצמיים של מטריצה נורמלית על ידי יישום המשפט הספקטרלי ניתן להשיג פירוק של מטריצה אוניטרית ומטריצה אלכסונית של $A$ כך ש $A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{*}$ . לָכֵן, $$\begin{gathered} \sqrt{A^{*}A}=\sqrt{U{\mathrm{\Lambda }}^{*}\mathrm{\Lambda }{U}^{*}}=U\left|\mathrm{\Lambda }\right| \\ {U}^{*} \end{gathered}$$.

לרוב הנורמות של אופרטורים על חללי הילברט שנחקרו יהיו מוגדרות באמצעות הערכים הסינגולריים שלהם. כל נורמה מוגדרת רק על מחלקה מיוחדת של אופרטורים, ולכן ערכים סינגולריים יכולים להיות שימושיים בסיווג אופרטורים ממחלקות שונות.

במרחבים סופיים תמיד ניתן לפרק מטריצה $A$ לצורה $\mathbf{U}\mathrm{\Sigma }{\mathbf{V}}^{\mathbf{*}}=A$, כאשר $\mathbf{U}$ ו ${\mathbf{V}}^{\mathbf{*}}$ הם מטריצות אוניטריות ו $\mathrm{\Sigma }$ היא מטריצה אלכסונית מלבנית כאשר הערכים הסינגולריים מונחים על האלכסון שלה. זהו הפירוק לערכים סינגולריים.

מאפיינים בסיסיים

עֲבוּר $A\in {\mathbb{ℂ}}^{m\times n}$, ו $i=1,2,\dots ,\min \{m,n\}$ .

משפט המינימום-מקס לערכים יחידניים . כָּאן $U:\dim (U)=i$ הוא תת-מרחב של ${\mathbb{ℂ}}^n$ ממימד $i$ .

$\begin{array}{rl}{\sigma }_i(A)& =\underset{\dim (U)=n-i+1}{\min }\underset{\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{x\in U}}{\max }{\Vert Ax\Vert }_2.\\ {\sigma }_i(A)& =\underset{\dim (U)=i}{\max }\underset{\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{x\in U}}{\min }{\Vert Ax\Vert }_2.\end{array}$

שחלוף והמטריצה והמטריצה הצמודה אינם משנים את הערכים הסינגולריים.

${\sigma }_i(A)={\sigma }_i\left(A^{\text{T}}\right)={\sigma }_i\left(A^{*}\right).$

לכל מטריצות אוניטריות $U\in {\mathbb{ℂ}}^{m\times m},V\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times n}.$

${\sigma }_i(A)={\sigma }_i(UAV).$

ובהקשר הערכים העצמייםː

${\sigma }_i^2(A)={\lambda }_i\left(A{A}^{*}\right)={\lambda }_i\left(A^{*}A\right).$

ובהקשר העקבהː

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2=\text{tr} \\ {A}^{\ast }A \end{gathered}$$ .

אִם $A^{\mathrm{\top }}A$ היא מטריצה הפיכה, המכפלה של הערכים הסינגולריים הוא $\sqrt{\det (A^{\mathrm{\top }}A)}$ .

אִם $A{A}^{\mathrm{\top }}$ הוא מטריצה הפיכה, המכפלה של הערכים הסינגולריים הוא $\sqrt{\det (A{A}^{\mathrm{\top }})}$ .

אִם $A$ הוא מטריצה הפיכה, המכפלה של הערכים הסינגולריים הוא $|\det A|$ .

הערך הסינגולרי הקטן ביותר

הערך הסינגולרי הקטן ביותר של מטריצה A הוא σ _n ( A ). והוא מקיים את המאפיינים הבאים עבור מטריצה לא אוניטרית $A$:

• נורמת-2 (הנורמה הספקטרלית) של המטריצה ההפוכה (A ^-1 ) שווה ל- σ _n ^-1 ( A ).. 
• הערכים האבסולוטיים של כל האלמנטים במטריצה ההפוכה (A ^-1 ) הם לכל היותר שווים לσ _n ^-1 ( A ).

באופן אינטואיטיבי, אם σ _n ( A ) קטן, אז השורות של A תלויות "כמעט" ליניארית. ואם הוא σ _n ( A ) = 0, אז השורות של A תלויות ליניארית והמטריצה לא הפיכה.

אי שוויון בערכים סינגולריים

ערכים סינגולריים של תת-מטריצות

עֲבוּר $A\in {\mathbb{ℂ}}^{m\times n}.$ ו$B$ תת-מטריצה שלה. אזיːː

1. יהי $B$ מטריצה שמחקו לה את אחת השורות או העמודות של $A$ אזיː$${\sigma }_{i+1}(A)\le {\sigma }_i(B)\le {\sigma }_i(A)$$
2. יהי $B$ מטריצה שמחקו לה את אחת השורות ואחת העמודות של $A$ אזיː$${\sigma }_{i+2}(A)\le {\sigma }_i(B)\le {\sigma }_i(A)$$
3. יהי $B$ מטריצה מגודל $(m-k)\times (n-\ell )$ תת-מטריצה של $A$ . אָזיː$${\sigma }_{i+k+\ell }(A)\le {\sigma }_i(B)\le {\sigma }_i(A)$$

ערכים סינגולריים של A + B

יהי $A,B\in {\mathbb{ℂ}}^{m\times n}$ אזיː

1. $$\sum _{i=1}^k{\sigma }_i(A+B)\le \sum _{i=1}^k({\sigma }_i(A)+{\sigma }_i(B)),k=\min \{m,n\}$$
2. $$\begin{gathered} {\sigma }_{i+j-1}(A+B)\le {\sigma }_i(A)+{\sigma }_j(B).i,j\in \mathbb{\mathbb{N}}, \\ i+j-1\le \min \{m,n\} \end{gathered}$$

ערכים סינגולריים של AB

יהי $A,B\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times n}$ אזיː

1. $$\begin{array}{rl}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}{\sigma }_i(A){\sigma }_i(B)& \le \prod _{i=n}^{i=n-k+1}{\sigma }_i(AB)\\ \prod _{i=1}^k{\sigma }_i(AB)& \le \prod _{i=1}^k{\sigma }_i(A){\sigma }_i(B),\\ \sum _{i=1}^k{\sigma }_i^p(AB)& \le \sum _{i=1}^k{\sigma }_i^p(A){\sigma }_i^p(B),\end{array}$$
2. $${\sigma }_n(A){\sigma }_i(B)\le {\sigma }_i(AB)\le {\sigma }_1(A){\sigma }_i(B)i=1,2,\dots ,n.$$

ועבור $A,B\in {\mathbb{ℂ}}^{m\times n}$ $$2{\sigma }_i(A{B}^{*})\le {\sigma }_i(A^{*}A+B^{*}B),i=1,2,\dots ,n.$$

ערכים סינגולריים וערכים עצמיים

יהי $A\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times n}$ .

1. ${\lambda }_i(A+A^{*})\le 2{\sigma }_i(A),i=1,2,\dots ,n$
2. נניח ו$|{\lambda }_1(A)|\ge \cdots \ge |{\lambda }_n(A)|$ הערכים העצמיים של A.אזי עבור $k=1,2,\dots ,n$ :
   1. משפט וייל $$\prod _{i=1}^k|{\lambda }_i(A)|\le \prod _{i=1}^k{\sigma }_i(A).$$
   2. ועֲבוּר $p>0$ . $$\sum _{i=1}^k|{\lambda }_i^p(A)|\le \sum _{i=1}^k{\sigma }_i^p(A).$$

היסטוריה

מושג זה הוצג על ידי ארהרד שמידט ב-1907. בתחילה שמידט כינה ערכים סינגולריים בתור "ערכים עצמיים". השם "ערך סינגולרי" צוטט לראשונה רק לאחר מכן ב-1937. בשנת 1957, אלאהורדייב הוכיח את האפיון הבא של המספר הסינגולרי ה- n :

${\sigma }_n(T)=\inf \{\Vert T-L\Vert :L\text{ is an operator of finite rank }<n\}.$

ניסוח זה אפשר להרחיב את הרעיון של ערכים סינגולריים לאופרטורים במרחבי בנך .

ראו גם

• מספר מצב
• משפט השזירה של Cauchy או משפט ההפרדה של Poincaré
• משפט שור-הורן
• פירוק ערך יחיד

קישורים חיצוניים

• .html ערך סינגולרי, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערות שוליים

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "ערך סינגולרי".