מטריצה אוניטרית

באלגברה ליניארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

$A^{*}A=A{A}^{*}=I$ כלומר $\overline{A^T}A=A\overline{A^T}=I_n$

כאשר $I$ היא מטריצת היחידה, ו־${A}^{*}=A^{†}=\overline{A^T}$ הוא הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אורתוגונלית היא מקרה פרטי של מטריצה אוניטרית שכל רכיביה הם מספרים ממשיים.

תכונות של מטריצות אוניטריות

• $A$ מטריצה הפיכה ו-$A^{-1}=A^{*}=\overline{A^T}$
• מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: $⟨Ax,Ay⟩=⟨x,A^{*}Ay⟩=⟨x,Iy⟩=⟨x,y⟩$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
• מטריצה אוניטרית$A$ שומרת על נורמה, כלומר $\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert$. כתוצאה מכך, הערך המוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1, ולכן כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.
• אם A אוניטרית אז$A^{*}$ ו־$\bar{A}$ הן גם אוניטריות.
• מטריצה $n\times n$ מעל שדה $\mathbb{𝔽}$ היא אוניטרית אם ורק אם שורותיה הן בסיס אורתונורמלי של ${\mathbb{𝔽}}^n$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.

חבורת המטריצות האוניטריות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה היא כפל מטריצות ומסומנת $\mathrm{U}(n)$. תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$.

ראו גם

• אופרטור אוניטרי

קישורים חיצוניים

• .html מטריצה אוניטרית, באתר MathWorld (באנגלית)