נוסחת ברהמגופטה

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת בְּרַהמָגוּפְּטָה, היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה, על בסיס צלעותיו. פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה.

נוסחה

שטח K של מרובע בר חסימה, שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d, ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה ( $s=\frac{a+b+c+d}{2}.$) הוא:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0. ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה:

$K=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}.$

$K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}\cdot$

הוכחה

דיאגרמה להוכחה

אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה, והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה. מרובע חסום ABCD ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△,

$K=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin C.$

מכיוון שמרובע ABCD הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB∠, מכאן sin A = sin C,אז ניתן לרשום את השטח כ-

$K=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin A$

ומכאן:

$K^2=\frac{1}{4}(pq+rs{)}^2{\sin }^{2}A$

$4K^2=(pq+rs{)}^2(1-{\cos }^{2}A)=(pq+rs{)}^2-(pq+rs{)}^2{\cos }^{2}A.$

ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△ על ידי משפט הקוסינוסים, אז

$p^2+q^2-2pq\cos A=r^2+s^2-2rs\cos C.$

ובגלל ש-cos C = −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן

$2(pq+rs)\cos A=p^2+q^2-r^2-s^2.$

אז

$4K^2=(pq+rs{)}^2-\frac{1}{4}(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2$

$16K^2=4(pq+rs{)}^2-(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2.$

ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז

$[2(pq+rs)-p^2-q^2+r^2+s^2][2(pq+rs)+p^2+q^2-r^2-s^2]$

ולאחר מכנה משותף,

$=[(r+s{)}^2-(p-q{)}^2][(p+q{)}^2-(r-s{)}^2]$

$=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).$

ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל

$16K^2=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).$

נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה:

$K=\sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.$

הכללות

ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה,

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$

כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ) = −cos θ, ומכאן cos²(180° − θ) = cos² θ, אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידועה בתור נוסחת ברטשניידר. כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז:

$abcd{\cos }^2\theta =abcd{\cos }^2\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,$

קישורים חיצוניים

• .html נוסחת ברהמגופטה, באתר MathWorld (באנגלית)