נוסחאות ויאטה

פרנסואה וייט

באלגברה, נוסחאות ויאטה (על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט) הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו שדה המספרים המרוכבים.

עבור פולינום מהצורה $p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$, עם שורשים $x_1,\dots ,x_n$ (כולל ריבוי), מתקיים:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ (x_1{x}_2{x}_3+\cdots +x_1{x}_2{x}_n)+(x_1{x}_3{x}_4+\cdots +x_1{x}_3{x}_n)+\cdots +(x_2{x}_3{x}_4+\cdots +x_2{x}_{n-1}{x}_n)+\cdots +x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n=-\frac{a_{n-3}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}\end{array}$

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

$\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}^n{x}_{i_1}\cdots x_{i_k}=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

לדוגמה, מתקיים:

$\sum _{j=1}^n{x}_j=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\prod _{j=1}^n{x}_j=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$

בפרט, עבור משוואה ממעלה שנייה $p(x)=a{x}^2+bx+c$ מתקיים:

$$\begin{gathered} x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ , \\ {x}_1{x}_2=\frac{c}{a} \end{gathered}$$

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

$\sum _{j=1}^n{x}_j=\mathrm{t}\mathrm{r}(A),\prod _{j=1}^n{x}_j=\det (A)$

כאשר $A$ היא המטריצה ו-$x_j$ הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

קישורים חיצוניים

• .html נוסחאות ויאטה, באתר MathWorld (באנגלית)