משפט רול

המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה c, מקביל לקו האדום המחבר את הקטע [a,b] ולציר ה-x.

משפט רול (על שם המתמטיקאי הצרפתי מישל רול שניסח אותו ב-1691), הוא משפט בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי, העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור $[a,b]$, גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ וערכיה בשני קצוות הקטע זהים, כלומר $f(a)=f(b)$, אז קיימת נקודה c בקטע $(a,b)$ כך ש-$f^{\prime }(c)=0$, כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.

מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של $y$) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.

המשפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$. אם מתקיים $f(a)=f(b)$, אז קיימת נקודה $c\in (a,b)$ כך שמתקיים $f^{\prime }(c)=0$.

הוכחה

על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה בקטע $[a,b]$, והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה בקטע $(a,b)$. אחרת, המקסימום או המינימום מתקבלים בתוך הקטע ובכל אחד מהמקרים קיימת נקודת קיצון ${x}_0$ בקטע $(a,b)$. לפי תנאי המשפט, הפונקציה גזירה ב-$(a,b)$ ובפרט היא גזירה ב-${x}_0$, ולכן על פי משפט פרמה ערך הנגזרת ב-${x}_0$ הוא אפס כנדרש.

הכללות

אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.

קישורים חיצוניים

• .html משפט רול, באתר MathWorld (באנגלית)   
• משפט רול, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• משפט רול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)