משפט קריין-סמוליאן

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן.

ניסוח המשפט

תהי $A\subset X^{*}$קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר $A_r=A\cap B_r^{*}$ כאשר $B_r^{*}$ הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w*.

2) $A_r$ סגורה w* לכל $r>0$.

2') קיימת סדרה $r_n\to \mathrm{\infty }$ כך שלכל n, $A_{r_n}$ סגורה w*.

הוכחה

סימונים: נסמן ב-$B_r^{*}$ את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב-$B_r$ הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב-$\mathbb{𝕂}$ את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו $B_r^{*}$ הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם $0<s<r$ אז $A_s=A_r\cap B_s^{*}$. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל-2'. באותו אופן ברור ש-(1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא $(2)\Rightarrow (1)$.

טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם $A+\varphi ,\lambda A(\lambda >0,\varphi \in X^{*})$ מקיימות את (2).

הוכחה:

ניפוח: לכל $\lambda ,r>0$ מתקיים ש-$(\lambda A{)}_r=\lambda A_{r/\lambda }$. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע $r>0,\varphi \in X^{*}$. תהי $\{{\psi }_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\subset (A+\varphi {)}_r$ רשת המתכנסת w* לאיבר $\psi \in X^{*}$. נראה ש-$\psi \in (A+\varphi {)}_r$. מכיוון ש-$B_r^{*}$ w* סגורה, מספיק להוכיח ש-$\psi \in A+\varphi$. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש-$||{\psi }_{\lambda }-\varphi ||\le ||\varphi ||+||{\psi }_{\lambda }||\le ||\varphi ||+r$ לכן $\{{\psi }_{\lambda }-\varphi {\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\subset (A{)}_{r+||\varphi ||}$ רשת המתכנסת ל-$\psi -\varphi$. מההנחה נקבל ש-$\psi -\varphi \in A\Rightarrow \psi \in A+\varphi$ וסיימנו.

טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

הוכחה:

תהי ${\varphi }_n\to \varphi ,{\varphi }_n\in A$. בפרט יש $r>0$ כך ש-${\varphi }_n\in A_r$. מההנחה ${\varphi }_n\to \varphi$ ולכן ${\varphi }_n\stackrel{\mathrm{w}}{\to }\varphi$ ומההנחה $\varphi \in A_r\subset A$.

המשך הוכחת המשפט:

יהי $\varphi \in X^{*}\setminus A$ רוצים למצוא סביבה חלשה $V$ של $\varphi$ כך ש-$A\cap V=\mathrm{\varnothing }$. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש-$\varphi =0$. נשתמש בלמה הבאה:

למה: נניח ש-$0\in ̸A$ אז יש סדרה $x_n\in X$ המקיימת:

1) $x_n\to 0$

2) לכל $\varphi \in A$ יש n כך ש-$|\varphi (x_n)|>1$.

הוכחת הלמה:

בהינתן קבוצה $M\subset X$ נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת $P(M)=\{\varphi \in X^{*}:|\varphi (x)|\le 1\mathrm{\forall }x\in M\}$. כיוון ש-A סגורה בנורמה, יש $\rho >0$ כך שלכל x ב-A, $||x||\ge \rho$. על ידי ניפוח ניתן להניח ש-$\rho >1$ ולכן $A_1=\mathrm{\varnothing }$. נקבע $F_0=\{0\}$ ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות $F_n\subset X$ המקיימות לכל $n\ge 1$:

א. $F_n\subset B_{1/n}$.

ב. $A_n\cap (\underset{i=0}{\overset{n-1}{\cap }}P(F_i))=\mathrm{\varnothing }$.

כיוון ש-$A_1=\mathrm{\varnothing }$, רואים ש-$F_0$ מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו $\{F_i{\}}_{i=0}^{N-1}$ נמצא את $F_N$. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה $K=A_{N+1}\cap (\underset{i=0}{\overset{N-1}{\cap }}P(F_i))\subset B_{N+1}^{*}$ היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית $G\subset B_{1/N}$ מתקיים $K\cap P(G)=\mathrm{\varnothing }$. מקומפקטיות נקבל ש-${\cap }_{G\subset B_{1/N},|G|<\mathrm{\infty }}(K\cap P(G))=\mathrm{\varnothing }$. יהי $\varphi$ בחיתוך הנ"ל. אז $\varphi \in K$. כמו כן לכל $x\in X,||x||<1/N$ מתקיים ש-$|\varphi (x)|\le 1$. מכך נקבל ש-$||\varphi ||\le N$ ואז $\varphi \in K\cap B_N^{*}=A_N\cap (\underset{i=0}{\overset{N-1}{\cap }}P(F_i))$ בסתירה להנחה שבחרנו על $\{F_i{\}}_{i=0}^{N-1}$. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש-$\{F_i{\}}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$ סופיות אז $\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{F}_i$ בן מנייה ויהי $\{x_n\}$ מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי $\varphi \in A$. נקבע $N$ כך $||\varphi ||\le N+1$. מתנאי ב נקבל שיש $j\le N$ כך ש-$\varphi \in ̸P(F_j)$ ולכן יש $x_n\in F_j$ כך ש-$|\varphi (x_n)|>1$ וקיבלנו את (2).

הוכחת המשפט: נקבע סדרה $x_n\in X$ כמו בלמה. מ-(1) יש $r>0$ כך שמתקיים $||x_n||\le r$. נתבונן באופרטור $T:X^{*}\to {\mathbb{𝕂}}^{\mathbb{\mathbb{N}}},T(\varphi )=\{\varphi (x_n){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. ברור ש-T ליניארי ומ-(1) נקבל כי $Range(T)\subset c_0$. כמו כן ברור ש-T רציף כיוון ש-$||T(\varphi {)}_n||=||\varphi (x_n)||\le ||\varphi ||||x_n||\le ||\varphi ||r$. מקמירות A נקבל ש-$T(A)$ קמורה. תהי $B=\{b\in c_0:||b|{|}_{\mathrm{\infty }}<1\}$. אז B סגורה ומ-(2) נקבל ש-$T(A)\cap B=\mathrm{\varnothing }$. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל $\eta \in (c_0{)}^{*}$ וכן $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ כך ש-$\mathrm{\Re }(\eta (a))\ge \alpha >\mathrm{\Re }(\eta (b)),\mathrm{\forall }a\in T(A),b\in B$. אם נציב b=0 נקבל ש-$\alpha >0$. כיוון ש-$(c_0{)}^{*}\cong l_1$ נקבל שיש סדרה $t=(t_n)\in l_1$ כך ש-$\eta (y)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_i{y}_i$. מתקיים $||t_n{x}_n||=|t_n|||x_n||\le |t_n|r\Rightarrow \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}||t_n{x}_n||\le r\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|t_n|<\mathrm{\infty }$ וכיוון ש-X מרחב בנך מקבלים שיש $x=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_n{x}_n$. לכל $\varphi \in X^{*}$ מתקיים: $\eta (T(\varphi ))=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_{i}T(\varphi {)}_n=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_i\varphi (x_n)=\varphi (x)$. לכן נקבל עבור $\varphi \in A$ש $\mathrm{\Re }(\varphi (x))\ge \alpha$. לכן אם נבחר את הסביבה $V=\{\varphi \in X^{*}|\mathrm{\Re }(\varphi )<\alpha \}$ אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

שימושים

מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.

ראו גם

משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

לקריאה נוספת

• בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.

• .
• .
• .

קישורים חיצוניים

• הוכחת המשפט
• הרחבות של המשפט