משפט קנטור-בנדיקסון

משפט קנטור-בנדיקסון הוא משפט מתמטי הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת-מנייה.

המשפט התקבל במסגרת ניסיונותיו של גאורג קנטור להוכיח את השערת הרצף. מהמשפט נובע שכל קבוצה סגורה של ממשיים היא בת-מנייה או מעוצמת הרצף.

ניסוח פורמלי

קבוצה $P$ היא קבוצה מושלמת אם היא הקבוצה הנגזרת של עצמה. בנוסח שקול, $P$ מושלמת אם ורק אם היא סגורה ואין לה נקודות מבודדות.

משפט קנטור-בנדיקסון. לכל $X\subseteq \mathbb{ℝ}$ סגורה קיימת $P$ מושלמת ו-$C$ בת-מנייה, כך ש-$X=P\cup C$ ו-$P\cap C=\mathrm{\varnothing }$.

הוכחה

ההוכחה המקורית של המשפט עושה שימוש בדרגת קנטור-בנדיקסון של הקבוצה. אם $X$ קבוצה סגורה בישר שדרגתה $\alpha$ אז $X^{\alpha }$ קבוצה מושלמת. מכך שהישר הוא מרחב מנייה שנייה נובע ש-$X\setminus X^{\alpha }$ בת-מנייה. נציג כאן הוכחה אלמנטרית יותר.

תהי $X\subseteq \mathbb{ℝ}$ סגורה. נתייחס ל-$X$ כמרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהישר. נקודת עיבוי של $X$ היא נקודה שכל סביבה שלה (ב-$X$) אינה בת-מנייה. תהי $P$ קבוצת נקודות העיבוי של $X$.

נוכיח כי $C=X\setminus P$ בת-מנייה. $B=\{X\cap (p,q):p,q\in \mathbb{\mathbb{Q}}\}$ הוא בסיס בן-מנייה של $X$. תהי $\{U_n{\}}_n$ קבוצת כל איברי $B$ שהן קבוצות בנות-מנייה.

כל $x\in U_n$ אינה נקודת עיבוי, כי $U_n$ סביבה בת-מנייה, ולכן $x\in C$. מצד שני, לכל $x\in C$ יש סביבה בת-מנייה, המכילה תת-סביבה בסיסית כלשהי שהיא בת-מנייה, ולכן $C={\cup }_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}{U}_n$. מכאן ש-$C$ בת-מנייה כאיחוד בן-מנייה של קבוצות בנות-מנייה.

נוכיח כי ל-$P$ אין נקודות מבודדות. תהי $x\in P$ ותהי $U$ סביבה שלה. מכיוון ש-$x$ נקודת עיבוי $U$ אינה בת-מנייה. $C$ בת-מנייה ולכן $U\setminus C$ מכילה אינסוף נקודות. אולם $U\setminus C\subseteq X\setminus C=P$, ולכן $U$ מכילה אינסוף נקודות של $P$, כלומר $x$ לא מבודדת ב-$P$.

כדי להוכיח ש-$P$ מושלמת נותר להוכיח כי היא סגורה ב-$\mathbb{ℝ}$. $P$ סגורה ב-$X$ כי $C$ פתוחה ב-$X$ כאיחוד של קבוצות פתוחות. לפי הגדרת הטופולוגיה המושרית קיימת $Y$ סגורה ב-$\mathbb{ℝ}$ כך ש-$P=X\cap Y$. לכן $P$ סגורה בישר כחיתוך של קבוצות סגורות.

הקשר להשערת הרצף

כל קבוצה מושלמת היא ריקה או מעוצמת הרצף. לכן ממשפט קנטור-בנדיקסון נובע שכל קבוצה סגורה היא בת-מנייה (במקרה $P=\mathrm{\varnothing }$) או מעוצמת הרצף. כל קבוצה פתוחה לא ריקה מכילה גם היא קבוצה מושלמת לא ריקה (כי היא מכילה קטע סגור שהוא מושלם). קנטור קיווה להוכיח שכל קבוצה שאינה בת-מנייה מכילה קבוצה מושלמת ובכך להוכיח את השערת הרצף. אם מניחים את אקסיומת הבחירה, טענה זו אינה נכונה וניתן לבנות בלכסון דוגמה נגדית.