משפט נגטה-היגמן

באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) $A$ מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית. במילים אחרות ^[1] לכל $n$ קיים קבוע $c (n)$ כך שאם $a^{n} = 0$ לכל $a \in A$ , אז לכל $a_{1}, \dots, a_{c (n)} \in A$ , המכפלה $a_{1} \dots a_{c (n)}$ שווה לאפס. הקבוע $c (n)$ נמצא בטווח $\frac{n (n + 1)}{2} \leq c (n) \leq n^{2}$ , ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע.

מאפיין חיובי

המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ- $n$ , אבל במקרה הכללי הוא ידוע רק כאשר $A$ נוצרת סופית. למעשה מתקיים העידון הבא: לכל $n$ ולכל $d$ יש קבוע $c_{d} (n)$ כך שכל אלגברה עם $d$ יוצרים, מעל שדה ממאפיין $0 < p \leq n$ , שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה $n$ לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה $c_{d} (n)$ לכל היותר. גם כאן הערך המדויק של $c_{d} (n)$ אינו ידוע; ל- $d$ קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה $c_{d} (n) = O (e^{\log (n)^{2}})$ , ואם מגבילים את המאפיין לטווח $\frac{n}{2} < p \leq n$ , ידוע גם חסם פולינומי ב- $n$ (אך דרגת הפולינום תלויה - לוגריתמית - ב- $d$ )^[2].

מעל שדה אינסופי (ממאפיין שרירותי) ישנו חסם פולינומי שניתן על ידי דומוקוש^[3]: $c_{d} (n) \leq (m + 2) n^{4}$ . אם המאפיין גדול מ- $n^{2} + 1$ (או 0), אזי $c_{d} (n) \leq n^{2}$ .

היסטוריה

את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר. ב-1952 ^[4] הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים $c (n)$ , ובכך הוכיח את המשפט. הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי. מעט אחר-כך, ב-1956 ^[5] הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ- $n$ , ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי.

ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל- $c (n) \geq \frac{n (n + 1)}{2}$ , ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס). השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור $n = 1, 2, 3, 4$ .

בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל $n$ קיים $c (n)$ כך ש- $x_{1} \dots x_{c (n)}$ נמצא ב-T-אידיאל של $x_{1}^{n}$ ; כלומר, $x_{1} \dots x_{c (n)}$ שייך לאידיאל של האלגברה החופשית $F ⟨ x_{1}, x_{2}, \dots ⟩$ הנוצר על ידי כל החזקות $f^{n}$ . תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם $c (n) \leq n^{2}$ , שהוא הטוב ביותר הידוע כיום.

הערות שוליים

^ הטענה השנייה חזקה יותר לכאורה משום שהיא מספקת חסם אחיד לכל האלגברות, אבל אין בזה חידוש משום שהחסם של האלגברה החופשית מתאים לכולן
^ [1]
^ Mátyás Domokos, Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras, Algebra and Number Theory, Vol. 12 (2018), No. 5, 1233–1242
^ M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296-301
^ G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1956), 1-4.

[1] הטענה השנייה חזקה יותר לכאורה משום שהיא מספקת חסם אחיד לכל האלגברות, אבל אין בזה חידוש משום שהחסם של האלגברה החופשית מתאים לכולן

[2] [1]

[3] Mátyás Domokos, Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras, Algebra and Number Theory, Vol. 12 (2018), No. 5, 1233–1242

[4] M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296-301

[5] G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1956), 1-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

משפט נגטה-היגמן

מאפיין חיובי

היסטוריה

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש