משפט לורות

בתורת השדות, משפט לורות (Lüroth's theorem), הנקרא על שם המתמטיקאי יאקוב לורות, קובע כי שדה ביניים של הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 אף הוא שדה הרחבה טרנסצנדנטי מדרגה 1. לורות הוכיח את הטענה בשנת 1876.

יהי $\mathbb{𝔽}$ שדה ותהי $\mathbb{𝔽}(x)$ שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, כלומר הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1. אזי כל שדה ביניים ממש $\mathbb{𝔽}\subset K\subseteq \mathbb{𝔽}(x)$ מהווה אף הוא הרחבה טרנסצנדנטית (מדרגה 1) - קיימת פונקציה רציונלית $\frac{p(x)}{q(x)}$ כך ש-$K=\mathbb{𝔽}\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)$.

ההוכחה הקלאסית, בעזרת תורת השדות בלבד, משתמשת בלמה של גאוס. הוכחות מודרניות ופשוטות יותר נתונות בעזרת עקומים גאומטריים.

טענה בעלת אופי דומה הוכחה על ידי Hartshorne : אם $\mathbb{𝔽}$ שדה סגור אלגברית ו-$\mathbb{𝔽}(x,y)$ מהווה הרחבה ספרבילית סופית מעל שדה ביניים $K$, אז $K$ הרחבה טרנסצנדנטית מעל $\mathbb{𝔽}$. הטענה לא נשארת נכונה כאשר ההרחבה לא ספרבילית, וגם לא ביותר משתנים.

לקריאה נוספת

• להוכחה הקלאסית, ראו Graduate Algebra: Commutative View, Louis Halle Rowen, AMS, p.147-149
• להוכחה מסובכת אך קצרה יותר, ראו Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4, CRC Press, p. 148
• להוכחת משפט Hartshorne, ראו Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer, New York, 1993,Remark V.6.2.1

קישורים חיצוניים

• .html משפט לורות, באתר MathWorld (באנגלית)