משפט ההתכנסות המונוטונית

בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט על האינטגרל של סדרה עולה של פונקציות מדידות ואי-שליליות. לפי המשפט, במקרה זה האינטגרל של הגבול שווה לגבול האינטגרלים. זהו משפט יסודי וחשוב בתורת המידה, ויש לו השלכות רבות, כדוגמת הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות הנשלטת. המתמטיקאי האיטלקי בפו לוי תרם רבות לפיתוח משפט זה.

ניסוח

יהי $(X,{ℱ},\mu )$ מרחב מידה. תהי ${f}_1,f_2,\dots$ סדרה של פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, המקיימות $0\le f_n\le f_{n+1}$ עבור כל $n=1,2,\dots$ כמעט בכל מקום. נכתוב $f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n$ (נשים לב שממונוטוניות גבול זה קיים, גם אם אולי אינסופי). אז מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{X}{\int }fd\mu$.

הוכחה

ראשית יש לשים לב כי הגבול $f(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ קיים בכל נקודה (סופי או אינסופי), כי הסדרה מונוטונית.

הכיוון $\ge$ ברור, כי $f\ge f_n$ לכל $n$, ולכן ממונוטוניות האינטגרל $\int f\ge \int f_n$, ולכן גם $\int f\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$.

לצורך הכיוון $\le$, מספיק להראות (לפי הגדרת אינטגרל לבג) כי לכל פונקציה פשוטה $\varphi \le f$ ולכל $0<a<1$ מתקיים $\int a\varphi \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$ (כי אז נשאיף $a\to 1^{-}$).

יהי $A_n={(f_n-a\varphi )}^{-1}([0,\mathrm{\infty }])$, קבוצה מדידה. גם $A_n\subseteq A_{n+1}$ ממונוטוניות, ו-$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=X$ - אכן, אם $x\in X,\varphi (x)=0$ אז $x\in A_1$; אחרת $f(x)>a\varphi (x)$ ומהשאיפה $f_n\to f$ נובע שקיים $n$ כך ש-$f_n(x)>a\varphi (x)$, כלומר $x\in A_n$.

לכן, $\underset{X}{\int }\varphi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A_n}{\int }\varphi$. כעת, $\underset{X}{\int }{f}_n\ge \underset{A_n}{\int }{f}_n\ge \underset{A_n}{\int }a\varphi$ וביחד מקבלים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_n\ge \underset{X}{\int }a\varphi$ כדרוש.

ראו גם

• הלמה של פאטו
• משפט ההתכנסות הנשלטת
• משפט ההתכנסות של ויטלי

קישורים חיצוניים

• .html משפט ההתכנסות המונוטונית, באתר MathWorld (באנגלית)