משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל $f_{0}$ מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט

יהי $L$ מרחב בנך מעל השדה $F$ (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב $L_{0} \subset L$ , ופונקציה תת-ליניארית $ρ : L \to ℝ$ (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי $f_{0} : L_{0} \to F$ החסום על ידי $ρ$ (כלומר: $| f_{0} (x) | \leq ρ (x)$ לכל $x \in L_{0}$ ) אפשר להרחיב לפונקציונל $f : L \to F$ שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

$\forall x \in L_{0} : f (x) = f_{0} (x)$ (כלומר: $f$ הוא אכן הרחבה של $f_{0}$ ).
$\forall x \in L : | f (x) | \leq ρ (x)$ (כלומר: $f$ חסום גם כן על ידי $ρ$ ).

מסקנות ושימושים

קיום הרחבה שומרת נורמה:

אם

L

הוא מרחב בנך ו-

M

הוא תת-מרחב שלו, ואם

f_{0} : M \to ℝ

הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על

M

, אזי קיימת לו הרחבה

f : L \to ℝ

רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר:

‖ f_{0} ‖_{L_{0}^{*}} = ‖ f ‖_{L^{*}}

. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר:

f_{0} (x) \leq ‖ f_{0} ‖_{*} \cdot ‖ x ‖

, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך,

ℝ

הוא אובייקט אינג'קטיבי.

משפט ההפרדה בין נקודות:

\forall x_{0} \neq 0 : \exists f_{0} \neq 0 bounded functional such that : f_{0} (x_{0}) = ‖ f_{0} ‖ \cdot ‖ x_{0} ‖ \neq 0

.

בפרט, אם נגדיר

x_{0} = x_{1} - x_{2}

עבור

x_{1} \neq x_{2}

אזי נקבל שקיים פונקציונל

f_{0} \neq 0

כך ש

f_{0} (x_{1}) \neq f_{0} (x_{2})

. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.

משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:

יהי

L

מרחב בנך ויהי

M

הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי

z \notin \overline{M}

נקודה שאיננה בסגור של

M

, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום)

f : M \to ℝ

כך ש:

$\forall x \in M : f (x) = 0$ ,
$f (z) = 1$
ומתקיים ש $‖ f ‖ = (‖ z ‖)^{- 1}$

הוכחת המשפט

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של $f_{0}$ החסומות על ידי $ρ$ לתת-מרחב כלשהו $L_{0} \subset L_{α} \subset L$ עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב- $E$ ). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב- $E$ שמהווה הרחבה של $f_{0}$ המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל $L$ .

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב- $E$ מוגדרת על תת-מרחב $L^{'} \subset L$ , כאשר $L^{'} \neq L$ . אזי קיים $y \in L - L^{'}$ ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי $ρ$ , המוגדרת על ידי:

\forall z \in span (L^{'} \cup {y}) : f (z) = f (x + λ y) = f^{'} (x) + λ y^{'}

כאשר $z = x + λ y$ פירוק יחיד של $z$ כאשר $x \in L^{'}$ ו- $f^{'}$ הוא ההרחבה המקסימלית על $L^{'}$ (והם איברי המשפחה $E$ ). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך $f^{'} (y) = y^{'}$ כך שלכל $z$ בתחום ההגדרה יתקיים $f^{'} (x) + λ y^{'} = f (z) \leq ρ (z)$ . באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים $y^{'}$ כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל- $f^{'}$ מ- $L^{'}$ לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב- $E$ .

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של $E$ , וניתן לראות בקלות שגם היא ב- $E$ , נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של $E$ מוגדר היטב על כל $L$ ומהווה הרחבה של $f_{0}$ המקיימת את הנדרש. $◼$

ראו גם

קישורים חיצוניים

משפט האן-בנך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
String Module Error: Target string is empty.html משפט האן-בנך, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.