מרחב פסאודו-מטרי

בטופולוגיה, מרחב פסאודו-מטרי הוא קבוצה עם פונקציית מרחק שבה ייתכן מרחק 0 בין שני איברים השונים זה מזה. פונקציית מרחק כזו נקראת .פסאודו-מטריקה. מרחב פסאודו-מטרי מהווה הרחבה של המרחב המטרי.

להגדיר פסאודו-מטריקה על קבוצה $X$ שקול ללתת יחס שקילות $\sim$ על $X$ ולהגדיר מטריקה על מרחב המנה $X/\sim$ (ראו להלן). כך שהמושג מרחב פסאודו-מטרי לא מספק אובייקטים מתמטיים השונים באופן מהותי ממרחבים מטריים. עם זאת, המושג נוח כאשר טבעי יותר לדבר על אברי הקבוצה $X$ מאשר על מחלקות השקילות בה (ראו דוגמאות להלן).

מרחבים פסאודו-מטרים הוגדרו לראשונה על ידי המתמטיקאי הסרבי דורו קורפה בשנת 1934.

הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצה $M$ ופונקציה $d:M\times M\to {\mathbb{ℝ}}_{\ge 0}$, כאשר ${\mathbb{ℝ}}_{\ge 0}$ היא קבוצת המספרים הממשיים האי-שליליים, הפונקציה $d$ תקרא פסאודו-מטריקה אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

1. לכל $x\in M$ מתקיים $d(x,x)=0$
2. לכל $x,y\in M$ מתקיים $d(x,y)=d(y,x)$ (כלומר, $d$ פונקציה סימטרית)
3. לכל $x,y,z\in M$ מתקיים $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ (כלומר, $d$ מקיימת את אי השוויון המשולש)

הזוג $(M,d)$ נקרא "מרחב פסאודו-מטרי". הגדרה זו זהה להגדרה של מרחב מטרי למעט התנאי הראשון, בו עבור מרחבי מטרי מתקיים ש-$d(x,y)=0$ אם ורק אם $x=y$. על כן, כל מרחב מטרי הוא מרחב פסאודו-מטרי.

טופולוגיה

בצורה דומה למרחבים מטריים, ניתן להגדיר מרחב טופולוגי באמצעות הפסאודו-מטריקה על ידי לקיחת כל הכדורים הפתוחים $B_r(x_0):=\{x\in M\mid d(x,x_0)<r\}$ ולהשתמש בהם כבסיס לטופולוגיה. בטופולוגיה זו, הפסאודו-מטריקה $d$ היא בהכרח פונקציה רציפה בשני המשתנים שלה.

ניתן להוכיח כי המרחב הטופולוגי הנוצר באמצעות הפסאודו-מטריקה יהיה בהכרח מרחב רגולרי לחלוטין. כמו כן, ניתן להראות כי אם הטופולוגיה מקיימת את אקסיומת ההפרדה $T_0$ אז בהכרח הפסאודו-מטריקה היא בעצם מטריקה.

זיהוי מטרי

בהינתן מרחב פסאודו-מטרי $(M,d)$, ניתן להגדיר על $M$ יחס שקילות $\sim$ כך ש-$x\sim y$ אם ורק אם $d(x,y)=0$. ניתן להראות כי אם $x_1\sim x_2$ ו-$y_1\sim y_2$ אז בהכרח $d(x_1,y_1)=d(x_2,y_2)$. מסיבה זו ניתן להגדיר פונקציה $d^{*}:(M/\sim )\times (M/\sim )\to {\mathbb{ℝ}}_{\ge 0}$ כך שלכל $[x],[y]\in M/\sim$ מתקיים $d^{*}([x],[y]):=d(x,y)$. פונקציה זו מוגדרת היטב מכיוון שערך המרחק בין מחלקות שקילות אינו תלוי בנציג.

ניתן להוכיח כי $d^{*}$ היא מטריקה ולכן $(M/\sim ,d^{*})$ הוא מרחב מטרי. $d^{*}$ תקרא מטריקת הזיהוי. כלומר, על-ידי זיהוי נקודות בעלות מרחק 0 זו מזו כאותה נקודה ניתן להפוך את המרחב הפסאודו-מטרי למרחב מטרי.

הטופולוגיה על מרחב מטרי זה מהווה את אותה הטופולוגיה של המרחב הפסאודו-מטרי המקורי עד כדי זיהוי נקודות. כלומר, אם $U\subseteq M$ היא קבוצה פתוחה לפי הטופולוגיה של הפסאודו-מטריקה, אז $U^{\prime }:=\{[x]\mid x\in U\}$ היא קבוצה פתוחה לפי מטריקת הזיהוי.

דוגמאות

• בהינתן מרחב מטרי $(M,d)$ ניתן להגדיר מרחב $(P(M),h)$ כאשר $P(M)$ היא קבוצת כל התת-קבוצות של $M$ (לאו דווקא פתוחות או סגורות) ו-$h$ הוא מרחק האוסדורף המוגדר כך שלכל $X,Y\in P(M)$ מתקיים ש-$h(X,Y):=\underset{m\in M}{\sup }|\underset{x\in X}{\inf }d(x,m)-\underset{y\in Y}{\inf }d(y,m)|$. המרחב $(P(M),h)$ הוא מרחב פסאודו-מטרי.
• בהינתן מרחב וקטורי $V$ ונורמה למחצה עליו $\rho$, ניתן להגדיר פסואודו-מטריקה $d$ על $V$ כך ש-$d(v,u):=\rho (v-u)$.
• בהינתן מרחב מידה $(\mathrm{\Omega },{𝒜},\mu )$ ניתן להגדיר פסאודו-מטריקה $d$ על ${𝒜}$ כך שלכל $A,B\in {𝒜}$ מתקיים ש-$d(A,B):=\mu (A△B)$.

ראו גם

• מרחב מטרי
• נורמה למחצה