מרחב אי-פריק

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

מרחב אי-פריק X הוא מרחב טופולוגי לא ריק ($X\ne \mathrm{\varnothing }$) שלא ניתן להציגו כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ל-X. מושג האי-פריקות שימושי במיוחד בגאומטריה אלגברית, בה נחקרות יריעות אלגבריות עם טופולוגיית זריצקי.

הגדרה

יהי $X\ne \mathrm{\varnothing }$ מרחב טופולוגי. נאמר ש-X הוא אי-פריק (Irreducible) אם מתקיימת אחת מהתכונות הבאות (שהן שקולות):

1. X איננו איחוד של שתי תת-קבוצות סגורות השונות ממש מ-X.
2. כל שתי תת-קבוצות פתוחות לא ריקות נחתכות לקבוצה לא ריקה.
3. כל תת-קבוצה פתוחה של X שאינה ריקה היא צפופה ב-X.

אם אחת מהתכונות מתקיימת, כולן מתקיימות. תכונה 1 שקולה לתכונה 2 על ידי לקיחת משלים של קבוצות ביחס ל-X. תכונה 3 היא בעצם ניסוח אחר של תכונה 2.

תת-קבוצה $M\subset X$ תיקרא אי-פריקה אם היא אי-פריקה בטופולוגיה המושרית כתת-מרחב של X.

תכונות

• אם M היא קבוצה אי-פריקה אזי M היא קבוצה קשירה.
• $M\subset X$ היא אי-פריקה אם"ם $\bar{M}\subset X$ היא אי-פריקה.

מרכיב אי-פריק

תת-קבוצה אי-פריקה מקסימלית ב-X נקראת מרכיב אי-פריק (או רכיב אי-פריק). מההגדרה והתכונה שהוזכרה לעיל נובע שמרכיב אי-פריק הוא קבוצה סגורה (אחרת $M\subset \bar{M}$ ו-M לא מקסימלית).

אם X הוא מרחב נתר אזי ל-X יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים $X_1,...,X_n$ והם מקיימים $X=X_1\cup ...\cup X_n$. בנוסף, כל תת-קבוצה אי-פריקה של X מוכלת באחד ממרכיבים אלה.

שימושים

בגאומטריה אלגברית קלאסית חוקרים יריעות אלגבריות, מדובר בקבוצות מהצורה

${𝒱}(I)=\{x\in k^n|\mathrm{\forall }f\in I:f(x)=0\}$

כאשר $I$ הוא אידיאל ב-$k[x_1,...,x_n]$, חוג הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית k. כאן, $X=k^n$ עם טופולוגיית זריצקי. בטופולוגיה זו, כל הקבוצות מהצורה ${𝒱}(I)$ מוגדרות להיות הקבוצות הסגורות, ואלה נקראות גם "קבוצות אלגבריות". קבוצה אלגברית ${𝒱}(I)$ היא אי-פריקה אם ורק אם הרדיקל של האידיאל $I$ (כלומר $$\begin{gathered} \sqrt{I}=\{f\in k[x_1,...,x_n] \\ |\mathrm{\exists }n\ge 1:f^n\in I\} \end{gathered}$$) הוא אידיאל ראשוני.

דוגמאות

• יהי k שדה סגור אלגברית. אזי k אי-פריק בטופולוגיית זריצקי, ובפרט קשיר.
• באופן כללי יותר, גם $k^n\cong \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}(k[X_1,...,X_n])$ הוא אי-פריק בטופולוגיית זריצקי.