מספר מחלקה (תבניות ריבועיות)

במתמטיקה ובתורת המספרים מספר מחלקה של מספר שלם $d$ הוא מספר התבניות הריבועיות הבינריות מדסקרימנטה $d$ עד כדי שקילות. מושג זה הוגדר על ידי גאוס והוכלל מאוחר יותר על ידי דדקינד למושג מספר מחלקה של שדה מספרים.

הגדרה פורמלית

• תבנית ריבועית בינארית היא פונקציה $f:{\mathbb{\mathbb{Z}}}^2\to \mathbb{\mathbb{Z}}$ מהצורה $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$.
• שתי תבניות $f_1$ ו - $f_2$ נקראת שקולות אם קימת מטריצה $$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$$ בעלת דטרמיננטה 1 עם מקדמים שלמים כך ש: $$f_1(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f_2(x,y)$$
• הדיסקרימיננטה של תבנית רבועית $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ מוגדרת להיות $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$
• מספר המחלקה של $d$ הוא מספר התבניות הבינריות בעלות דיסקרימיננטה $d$ עד כדי שקילות.

נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

ערך מורחב – נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

דיריכלה פיתח נוסחה שקושרת בין מספר המחלקה של $n$ לבין ערך של פונקציית L של דיריכלה המתאימה לקרקטר ממשי המתאים ל $n$.

קשר למספר המחלקה של שדה

ערך מורחב – מספר מחלקה (תורת המספרים)

דדקינד הכליל את מושג מספר המחלקה למושג שמגדיר מספר עבור כל שדה מספרים. שני המושגים קשורים באופן הבא: עבור מספר שלם $d$, מספר המחלקה של השדה $\mathbb{\mathbb{Q}}⟨\sqrt{d}⟩$ שווה למספר המחלקה של המספר $d$.

לקריא נוספת

• The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood

ראו גם

• מספר מחלקה (תורת המספרים)
• נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

קישורים חיצוניים

• מספר מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)