מספרי לוקאס

במתמטיקה, מספרי לוקאס הם סדרה של מספרים טבעיים הקרויה על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס (1842-1891). הגדרתה דומה לזו של סדרת פיבונאצ'י: כל איבר בסדרה הוא סכום שני קודמיו. היא נבדלת מסדרת פיבונאצ'י בתנאי ההתחלה: האיבר האפס והאיבר הראשון הם 2 ו-1 בהתאמה. זהו מקרה פרטי של סדרת לוקאס.

תחילת הסדרה היא: ...2,1,3,4,7,11,18,29,47,76

ההגדרה הרקורסיבית של הסדרה היא:

$L_n:=\{\begin{array}{ll}2& \text{if }n=0;\\ 1& \text{if }n=1;\\ L_{n-1}+L_{n-2}& \text{if }n>1.\\ \end{array}$

מאפיינים

כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת לוקאס בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי סדרות הנדסיות (כאשר $\varphi$ הוא יחס הזהב):

$L_n={\varphi }^n+(1-\varphi {)}^n={\varphi }^n+(-\varphi {)}^{-n}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$

מכיוון שהרכיב השני בסכום שואף ל-0 כש-n שואף לאינסוף, ניתן גם לחשב את מספרי לוקאס (מלבד השניים הראשונים) באמצעות עיגול חזקות של יחס הזהב:

$L_n=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}({\varphi }^n)$

כל איבר בסדרה שווה לסכום שני מספרי פיבונאצ'י המופיעים משני צדדיו של האיבר המקביל לו בסדרת פיבונאצ'י:

$L_n=F_{n-1}+F_{n+1}$

לדוגמה, האיבר הרביעי בסדרה הוא 7 השווה לסכום של 2 ו-5, האיברים השלישי והחמישי בסדרת פיבונאצ'י.

ראו גם

• סדרת פיבונאצ'י
• סדרת פֶּל

קישורים חיצוניים

• .html מספרי לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)   
• סדרת מספרי לוקאס באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים