מספרי אוילר

מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):

$$\text{sech}(t)=\frac{1}{\cosh (t)}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n}{n!}\cdot t^n$$

ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: $E_0=1,E_n=-\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k$,

ובקירוב: $E_{2n}\approx (-1{)}^{n}8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}$

• סקאנט: $\sec (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}:|x|<\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (x{)}^n}{1+x^2}dx=|E_n|{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{n+1}$

מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:

$\begin{array}{rl}& E_0=1\\ & E_2=-1\\ & E_4=5\\ & E_6=-61\\ & E_8=1385\\ & E_{10}=-50521\\ & E_{12}=2,702,765\\ & E_{14}=-199,360,981\\ & E_{16}=19,391,512,145\\ & E_{18}=-2,404,879,675,441\end{array}$

ראו גם

• מספרי ברנולי

קישורים חיצוניים

• .html מספרי אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)   
• מספרי אוילר – סדרת המקדמים הזוגיים באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים