מיוריזציה

במתמטיקה, מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא קדם-סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.

הגדרה פורמלית

בהינתן מספר טבעי $d\in \mathbb{\mathbb{N}}$ ווקטור $a\in {\mathbb{ℝ}}^d$, אומרים כי $a$ הוא וקטור לא-עולה אם ורק אם לכל $1\le i\le n-1$ מתקיים ש-$a_i\ge a_{i+1}$.

עבור זוג וקטורים לא-עולים $a,b\in {\mathbb{ℝ}}^d$ אומרים כי $a$ ממייר את $b$ (או $a$ גובר על $b$) אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

1. $\sum _{i=1}^d{a}_i=\sum _{i=1}^d{b}_i$
2. לכל $1\le k\le d-1$ מתקיים כי $\sum _{i=1}^k{a}_i\ge \sum _{i=1}^k{b}_i$

ומסמנים $a⪰b$.

עבור $a$ ו-$b$ כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי $a$ או גובר על $b$ אם ורק אם $a^{\downarrow }⪰b^{\downarrow }$ כאשר $a^{\downarrow }$ ו-$b^{\downarrow }$ הם הווקטורים הנוצרים על-ידי סידור $a$ ו-$b$ בסדר לא-עולה בהתאמה.

הגדרות אלטרנטיביות

ניתן להוכיח כי בהינתן $d\in \mathbb{\mathbb{N}}$ ו-$a,b\in {\mathbb{ℝ}}^d$, $a⪰b$ לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית $D\in {\mathbb{ℝ}}^{d\times d}$ כך ש-$b=Da$.

כמו כן, $a⪰b$ אם ורק אם ניתן לייצג את $b$ כצירוף קמור של תמורות על איברי $a$. כלומר, קיימות מטריצות תמורה $P_1,\dots ,P_k\in {\mathbb{ℝ}}^{d\times d}$ ומקדמים $c_1,\dots ,c_k\in \mathbb{ℝ}$ כך ש-

1. $c_i>0$ לכל $1\le i\le k$
2. $\sum _{i=1}^k{c}_i=1$
3. $\sum _{i=1}^k{c}_i{P}_{i}a=b$

משמעות ההגדרה האחרונה היא ש-$b$ נמצא בתוך הפאון הרב-ממדי הקמור הנוצר מתמורות על איברי $a$.

הוכחת שקילות ההגדרה האחרונה לקודמותיה מתבצעת באמצעות משפט בירקהוף-פון נוימן.

יישומים

• בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים $H$ ו-$H^{\prime }$ נאמר כי $H$ גובר על $H^{\prime }$ אם וקטור הערכים העצמיים של $H$ גובר על זה של $H^{\prime }$.

• אי-שוויון קאמאראטה: בהינתן שתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים $a,b\in {\mathbb{ℝ}}^d$, מתקיים: $a$ גובר על $b$ אם ורק אם לכל פונקציה קמורה $h:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$‏, $\sum _{i=1}^{d}h(a_i)\ge \sum _{i=1}^{d}h(b_i)$.
• אי-שוויון מוירהד: בהינתן $a,b\in {\mathbb{ℝ}}^d$ כך ש-$a⪰b$, לכל $x_1,x_2,\dots ,x_d>0$ מתקיים: $\sum _{\sigma \in S_d}{x}_{\sigma 1}^{b_1}{x}_{\sigma 2}^{b_2}\cdots x_{\sigma d}^{b_d}\le \sum _{\sigma \in S_d}{x}_{\sigma 1}^{a_1}{x}_{\sigma 2}^{a_2}\cdots x_{\sigma d}^{a_d}$ כאשר $S_d$ היא החבורה הסימטרית על $d$.

קישורים חיצוניים

• מיוריזציה, באתר MathWorld (באנגלית)
• שי גירון ורן טסלר, מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה