מונה על-קומפקטי

בתורת הקבוצות, מונה על-קומפקטי הוא סוג מסוים של מונה גדול.

הגדרה ותכונות מרכזיות

מונה $\kappa$ נקרא $\lambda$-על-קומפקטי, אם קיים שיכון אלמנטרי $j:V\to M$, כש-$M$ מחלקה טרנזיטיבית של $V$, כך ש- $\text{crit}(j)=\kappa$, $j(\kappa )>\lambda$ ו-${}^{\lambda }M\subseteq M$. מונה על-קומפקטי הוא מונה $\kappa$ שהוא $\lambda$-על-קומפקטי לכל $\lambda$.

קיימת הגדרה שקולה, שניתנת להבעה בלוגיקה מסדר ראשון. עבור $\lambda \ge \kappa$, $\kappa$ הוא $\lambda$-על-קומפקטי אם ורק אם קיימת מידה עדינה ונורמלית על הקבוצה $$\begin{gathered} {{𝒫}}_{\kappa }(\lambda )=\{A\subseteq \lambda \\ : \\ |A|<\kappa \} \end{gathered}$$. מידה כזו היא על-מסנן $U$ על ${{𝒫}}_{\kappa }(\lambda )$ המקיים:

1. $U$ הוא $\kappa$-שלם: כלומר, $U$ סגור לחיתוך של פחות מ-$\kappa$ קבוצות.
2. $U$ עדין: כלומר, לכל $\alpha <\lambda$, הקבוצה $\check{\alpha }=\{A\in {{𝒫}}_{\kappa }(\lambda ):\alpha \in A\}$ שייכת ל-$U$.
3. $U$ נורמלי: כלומר $U$ עדין, ומקיים בנוסף את התכונה הבאה: לכל פונקציה $f:{{𝒫}}_{\kappa }(\lambda )\to \lambda$, אם $\{x\in {{𝒫}}_{\kappa }(\lambda ):f(x)\in x\}\in U$ אז קיימת קבוצה $A\in U$ עליה $f$ קבועה.

שתי ההגדרות שקולות. אם יש שיכון אלמנטרי $j:V\to M$ המעיד על כך ש-$\kappa$ הוא $\lambda$-על-קומפקטי, אז ניתן להגדיר מידה עדינה ונורמלית על ${{𝒫}}_{\kappa }(\lambda )$ באופן הבא: $U=\{A\in {{𝒫}}_{\kappa }(\lambda ):j^{″}\lambda \in j(A)\}$. מנגד, אם $U$ מידה עדינה ונורמלית על ${{𝒫}}_{\kappa }(\lambda )$, אז שיכון העל חזקה המתאים מעיד על כך ש-$\kappa$ הוא $\lambda$-על-קומפקטי.

אם $\kappa$ מונה על-קומפקטי, אז קיימים עליו $2^{2^{\kappa }}$ על-מסננים נורמליים (זו הכמות המרבית).

למונים על-קומפקטיים יש תכונות השתקפות חזקות. למשל, אם השערת הרצף המוכללת (GCH) נכונה עד למונה על-קומפקטי $\kappa$, אז היא נכונה בכל מקום. כמו כן, כל מונה על-קומפקטי $\kappa$ הוא גבול של מונים מדידים (יתרה מכך, קבוצת המונים המדידים מתחתיו היא קבוצה שבת).

הקשר למונים קומפקטיים-חזקים

כל מונה על-קומפקטי הוא קומפקטי-חזק. רוברט סולוביי שיער שההפך גם נכון, כלומר כל מונה קומפקטי-חזק הוא על-קומפקטי. אף על פי שטענה זו עקבית מתוך קיום מונה על-קומפקטי, מתברר שאינה בהכרח נכונה: Menas הוכיח שגבול מדיד של מונים קומפקטיים חזקים הוא קומפקטי חזק. מכאן נובע שהמונה הראשון שהוא גבול מדיד של קומפקטיים חזקים, (אם קיים), הוא מונה קומפקטי חזק שאינו על-קומפקטי.

השיטה של Menas לא מאפשרת לשלול את היותו של המונה הקומפקטי-חזק הראשון על-קומפקטי. מנחם מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא המונה המדיד הראשון (ולכן אינו על-קומפקטי). כמו כן, מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא העל-קומפקטי הראשון.

אקסיומת העל-חזקה גוררת שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא על-קומפקטי; יחד עם זאת, לא ידוע עדיין האם אקסיומת העל-חזקה עקבית עם קיומם של מונים קומפקטים-חזקים.

כיום עדיין לא ידוע אם חוזק ההתיישבות של מונים קומפקטיים-חזקים ומונים על-קומפקטיים זהה.