מודל הייזנברג (קלאסי)

מודל הייזנברג הקלאסי הוא מודל מתמטי במכניקה סטטיסטית המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים. המודל הוא מקרה פרטי של מודל n-וקטור, עבור $n=3$.

הגדרה

עבור סריג בעל d ממדים ועבור סט של ספינים באורך יחידה:

${\overrightarrow{s}}_i\in {\mathbb{ℝ}}^3,|{\overrightarrow{s}}_i|=1(1)$

בכל נקודת סריג ממוקם ספין אחד.

ההמילטוניאן המתאר את המערכת מוגדר כך:

${\mathscr{H}}=-\sum _{i,j}{{𝒥}}_{ij}{\overrightarrow{s}}_i\cdot {\overrightarrow{s}}_j(2)$

כאשר:

${{𝒥}}_{ij}=\{\begin{array}{ll}J& \text{if }i,j\text{ are neighbors}\\ 0& \text{else.}\end{array}$

הוא קבוע הצימוד או מקדם אינטראקציית השחלוף בין הספינים.

תכונות

• הפורמליזם המתמטי הכללי שבו משתמשים על מנת לתאר ולפתור את מודל הייזנברג פותח במאמר על מודל פוטס.

• בגבול הקוואנטי, מקבלים מההמילטוניאן (2) את משוואת התנועה הבאה:

${\overrightarrow{S}}_t=\overrightarrow{S}\wedge {\overrightarrow{S}}_{xx}$

משוואה זו נקראת משוואת הייזנברג פרומגנט המתמשכת או בקיצור "מודל הייזנברג" והיא אינטגרבילית כסוליטון.

מימד אחד (d=1)

• במקרה של אינטראקציה ארוכת טווח, $J_{x,y}\sim |x-y{|}^{-\alpha }$, הגבול התרמודינמי מוגדר היטב אם $\alpha >1$; המגנטיזציה נשארת אפס אם $\alpha \ge 2$; אבל עבור טמפרטורה נמוכה מספיק, אם $1<\alpha <2$, המגנטיזציה היא חיובית.

• כמו בכל מודל n-וקטור של שכנים קרובים עם תנאי שפה חופשיים, אם השדה המגנטי החיצוני הוא אפס, קיים פתרון מדויק פשוט.

שני ממדים (d=2)

• במקרה של אינטראקציה ארוכת טווח, $J_{x,y}\sim |x-y{|}^{-\alpha }$, הגבול התרמודינמי מוגדר היטב אם $\alpha >2$; המגנטיזציה נשארת אפס אם $\alpha \ge 4$; אבל עבור טמפרטורה נמוכה מספיק, אם $2<\alpha <4$, המגנטיזציה היא חיובית.

• פוליאקוב שיער כי, בניגוד למודל XY (קלאסי), אין פאזה דיפולית עבור $T>0$; כלומר בטמפרטורה שונה מאפס, פונקציית ההתאמה בין הספינים גדלה אקספוננציאלית מהר.

שלושה ממדים או יותר (d>=3)

• ללא תלות בטווח האינטראקציה, בטמפרטורה נמוכה מספיק, המגנטיזציה חיובית.

• השערתית, בכל אחת מרמות הטמפרטורה הנמוכה החיצוניות, פונקציית ההתאמה בין הספינים דועכת אלגברית.

ראו גם

• מודל הייזנברג (קוונטי)
• מודל איזינג
• מודל XY (קלאסי)
• מגנטיות
• פרומגנטיות
• מודל המוצק של איינשטיין

קישורים חיצוניים

• Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models
• The Heisenberg Model - a Bibliography