מבחן F

מבחן F הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס. השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור (George W. Snedecor), כמחווה לרונלד פישר.

דוגמאות למבחן F

להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.

• בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה.
• בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים.

דוגמה להשוואה בין שונויות

יהיו $X_1,...,X_n\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ ו-$Y_1,...,Y_m\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות. נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו: $$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$$ $$H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$$

כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית: $${\hat{\mu }}_1=\overline{X},{\hat{\sigma }}_1^2=\frac{1}{n}\sum (X_i-\overline{X}{)}^2$$ $${\hat{\mu }}_2=\overline{Y},{\hat{\sigma }}_2^2=\frac{1}{m}\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2$$

פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת: $$L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_1,{\hat{\sigma }}_2)={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\hat{\sigma }}_1}\right)}^n{e}^{-\frac{n}{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\hat{\sigma }}_2}\right)}^m{e}^{-\frac{m}{2}}$$

תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן ${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2+\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2}{n+m}$. כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא: $$L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_0)={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\hat{\sigma }}_0}\right)}^{n+m}{e}^{-\frac{n+m}{2}}$$

משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא: $$\lambda (X,Y)=\frac{L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_1,{\hat{\sigma }}_2)}{L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_0)}={\left(\frac{{\hat{\sigma }}_1^2}{{\hat{\sigma }}_0^2}\right)}^{\frac{n}{2}}{\left(\frac{{\hat{\sigma }}_2^2}{{\hat{\sigma }}_0^2}\right)}^{\frac{m}{2}}$$ ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:

$$\lambda (X,Y)={\left((1+\frac{\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2}{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2})\frac{n+m}{n}\right)}^{-\frac{n}{2}}{\left((1+\frac{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2}{\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2})\frac{n+m}{m}\right)}^{-\frac{m}{2}}$$

כעת, נביט בסטטיסטי $T(X,Y)=\frac{\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2}{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2}$. נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, $\lambda (X,Y)$ שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:

נדחה את השערת האפס אם $T(X,Y)>C_1$ או $T(X,Y)<C_2$, כאשר רמת הביטחון מקיימת $$\alpha =P(\{T(X,Y)<C_2\}\cup \{T(X,Y)>C_1\})$$.

כעת, נשים לב לתכונות הבאות: $\frac{\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2/(m-1)}{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2/(n-1)}=\frac{S_Y^2}{S_X^2}\sim \frac{{\chi }_{m-1}^2/(m-1)}{{\chi }_{n-1}^2/(n-1)}=F_{m-1,n-1}$

לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי $T^{\prime }(X,Y)=\frac{\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2/(m-1)}{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2/(n-1)}$. כדי לקבל אותו, נחלק ב-$n-1,m-1$ את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים:

נדחה את השערת האפס אם $T^{\prime }(X,Y)>C_1^{*}$ או $T^{\prime }(X,Y)<C_2^{*}$ כאשר רמת הביטחון מקיימת $\alpha =P(T^{\prime }(X,Y)<C_2^{*}or{T}^{\prime }(X,Y)>C_1^{*})$.

ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F : $C_1^{*}=F_{m-1,n-1;1-\frac{\alpha }{2}},C_2^{*}=F_{m-1,n-1;\frac{\alpha }{2}}$

ראו גם

• מבחן t