חבורת p

בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של $p$. קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני $p$, והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של $p$.

התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שכל חבורה סופית מכילה תת-חבורות-p (כל תת-חבורת-p מקסימלית של חבורה סופית היא מאינדקס זר ל-p: משפטי סילו). מאידך, בעיית המיון של חבורות-p קשה, ומבחינות מסוימות היא בלתי אפשרית.

מבנה

שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת-p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.

כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של $p$) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.

חבורת-p היא חזקה (powerful) אם תת-החבורה הנוצרת על-ידי החזקות $x^p$ (או $x^4$ אם p=2) מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים.

מספרן של חבורות-p

עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר $n$ הוא הגדול ביותר כאשר $n$ הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר $p^n$ גדל כמו $p^{2n^3/27}$.

יש חבורה יחידה מכל סדר $p$; 2 חבורות מסדר $p^2$; 5 חבורות מסדר $p^3$; ו-15 חבורות מסדר $p^4$. מספר החבורות מסדר $p^5$ הוא $2p$ ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-$p$; מספר החבורות מסדר $p^6$ הוא $3p^2$ ועוד גורם ליניארי התלוי ב-$p$; מספר החבורות מסדר $p^7$ הוא $3p^5$ ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-$p$. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל $n$ יש $N$ גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר $p^n$ (עבור $p$ גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של $p$, התלוי ב-$p(\mathrm{mod}N)$ בלבד.

החבורות מכל סדר $p^n$, עבור $n\le 7$ (וכאשר $p=2$, עבור $n\le 9$) מויינו באופן מלא. יש $49478365422$ חבורות מסדר $2^{10}$.

אוטומורפיזמים

משערים שאם $P$ חבורת-p מסדר שאינו $p$ או $p^2$, אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים $|\mathrm{Aut}(P)|$ מתחלק בזה של $P$. חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p תמיד כוללת איבר מסדר $p$ (Gashutz, 1966). השאלה האם תמיד קיים אוטומורפיזם חיצוני מסדר p עודנה פתוחה.

חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים

חבורת פרטיני $\mathrm{\Phi }(P)$ של חבורת-p $P$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן $P/\mathrm{\Phi }(P)$ היא מהצורה $(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}}{)}^d$ עבור $d$ מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי $d$ איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה $H_2(P,\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})$: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם $d$ יוצרים ו-$r$ יחסים.

אלגברת החבורה

בעיית האיזומורפיזם המודולרי (האם אלגברת החבורה ${\mathbb{𝔽}}_p[G]$, כאשר $P$ היא חבורת-p, קובעת את $P$ עד-כדי איזומורפיזם) נפתרה לשלילה: ראו אלגברת חבורה.

ראו גם

• חבורה פרו-p

קישורים חיצוניים

• .html חבורת p, באתר MathWorld (באנגלית)