משוואת המחלקות

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

$|G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]$

כאשר $Z(G)$ הוא המרכז של G, $C(g)$ הוא המְרַכֵּז של $g$ (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-$Z(G)$.

$[G:C(g)]$ הוא האינדקס של $C(g)$ ב-$G$ והוא שווה ל-$[G:C(g)]=|G|/|C(g)|$.

רקע

שני איברים $g,h\in G$ נקראים איברים צמודים אם קיים $x\in G$ כך ש-$g=xh{x}^{-1}$. צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את $G$ למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל-$g$ כ-$A_g$.

המרכז של $G$ מוגדר $Z(G)=\{g\in G:\mathrm{\forall }x\in G,xg=gx\}$ (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).

המְרַכֵּז של איבר $g\in G$ מוגדר $C(g)=\{x\in G:xg=gx\}$ (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g). למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש-$C(g)$ היא תת-חבורה של $G$.

הוכחה

תהי $G$ חבורה סופית ויהי $g\in G$. נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

$xg{x}^{-1}=yg{y}^{-1}⟺(y^{-1}x)g=g(y^{-1}x)⟺y^{-1}x\in C(g)⟺x\in yC(g)⟺xC(g)=yC(g)$

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש-$xg{x}^{-1}$ ו-$yg{y}^{-1}$ שונים אם ורק אם $x$ ו-$y$ שייכים לקוסטים שמאליים שונים של $C(g)$. לכן מתקיים:

$|A_g|=[G:C(g)]$

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

$|G|=\sum _g|A_g|$

כש-$g$ עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.

נגדיר את $I$ כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי $Z(G)$. לכל $g\in Z(G)$ ולכל $x\in G$ מתקיים $g=x{x}^{-1}g=xg{x}^{-1}$ ולכן $|A_g|=1$ (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

$|G|=\sum _{g\in Z(G)}1+\sum _{g\in I}|A_i|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]$

מסקנות

ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי $G$ חבורה מסדר $p^n$. אם $G$ אבלית $Z(G)=G$ אינו טריוויאלי. נניח ש-$G$ אינה אבלית. יהי $g\in I$, לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים $|C(g)|=p^k$. בהכרח $k<n$, אחרת $C(g)=G$ בסתירה לכך ש-$g\in ̸Z(G)$. לכן: $p|p^{n-k}=[G:C(g)]$. לפי משוואת המחלקות:

$|Z(G)|=|G|-\sum _{g\in I}[G:C(g)]$

אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p. $|Z(G)|$ הוא מספר חיובי (כי $e\in Z(G)$) שמתחלק ב-p ולכן $p\le |Z(G)|$. ∎

שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.

המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.