חבורות מתיו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות M9,M10,M11,M12 ו-M21,M22,M23,M24, שמהן M11,M12,M22,M23,M24 הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם M21 פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות PSL3(𝔽4)). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.

בניית חבורות מתיו

החבורה M10 היא תת-חבורה מאינדקס 2 של PGL2(𝔽9)ϕ, כאשר ϕ הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן PGL2(𝔽9) ו-PSL2(𝔽9)ϕ), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי 𝔽9{}. פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.

אם מוסיפים ל-M10 את התמורה (ω)(λπ2λ+πϕ(λ)), כאשר π יוצר של השדה מסדר 9, המקיים π2+π=1, מתקבלת החבורה M11, שפעולתה על 𝔽9{,ω} היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר S(4,5,11), שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.

כשמוסיפים לזה את התמורה (ωΩ)ϕ, מתקבלת החבורה M12, שפעולתה על 𝔽9{,ω,Ω} היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר S(5,6,12), היחידה עם פרמטרים אלו.

החבורה PSL3(𝔽4) פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת M22. הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר S(3,6,22). החבורה M22 מוכלת בחבורה M23 הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא M22 (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של S(4,7,23); ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים M24 של המערכת S(5,8,24) פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-M23.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא חבורות מתיו בוויקישיתוף   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.