זהות ויינשטיין-ארונסיין

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

זהות ויינשטיין-ארונסיין שידועה גם כזהות הדטרמיננטה של סילבסטר קובעת שאם $A\in M_{m\times n}(F)$ היא מטריצה עם m שורות ו-n עמודות, ו-$B\in M_{n\times m}(F)$ היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי הדטרמיננטה מקיימת $$\det (I_m+AB)=\det (I_n+BA)$$ כאשר $I_k$ היא מטריצת היחידה מסדר k.

נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל במחשב, שכן הסיבוכיות של חישוב נומרי של דטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר k הוא ${𝒪}(k^3)$.

הוכחה

נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים: $$\det (I_m+AB)=\det \left[\begin{array}{cc}{I}_m+AB& 0\\ B& I_n\end{array}\right]$$ אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כמכפלת מטריצות: $$\left[\begin{array}{cc}{I}_m+AB& 0\\ B& I_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ 0& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ B& I_n\end{array}\right]=X\cdot Y$$ כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה: $$\det (XY)=\det (X)\det (Y)=\det (Y)\det (X)=\det (YX)$$ ברם, $$YX=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ B& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ 0& I_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ B& I_n+BA\end{array}\right]$$ אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של מטריצת בלוקים נקבל $$\det \left[\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ B& I_n+BA\end{array}\right]=\det (I_n+BA)$$

ואם נסכם הכל:$$\det (I_m+AB)=\det \left[\begin{array}{cc}{I}_m+AB& 0\\ B& I_n\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ B& I_n+BA\end{array}\right]=\det (I_n+BA)$$

מש"ל.

ידועות הכללות של הנוסחה, כגון $\det (a+b-axb)=\det (a+b-bxa)$ לכל שלוש מטריצות ריבועיות a,b,c (D. Khurana and T. Y. Lam, 2024).

קישורים חיצוניים

• Sylvester's Determinant Identity, סרטון בערוץ "Michael Penn", באתר יוטיוב (אורך: 11:23)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.